Seção 6: Valor Esperado. Propriedades do Valor Esperado. Variância. Propriedades da Variância. Correlação.
\section*{Questão 57.}

Cem pessoas terão seu sangue examinado para determinar se possuem ou não determinada doença. Entretanto, em vez de testar cada indivíduo separadamente, decidiu-se primeiro colocar as pessoas em grupos de 10. As amostras de sangue das 10 pessoas de cada grupo serão analisadas em conjunto. Se o teste der negativo, apenas um teste será suficiente para as 10 pessoas. Por outro lado, se o teste der positivo, cada uma das demais pessoas também será examinada e, no total, 11 testes serão feitos no grupo em questão. Suponha que a probabilidade de se ter a doença seja de 0,1 para qualquer pessoa, de forma independente, e calcule o número

ET - 101 - Estatística 1
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esperado de testes necessários para cada grupo (observe que supomos que o teste conjunto dará positivo se pelo menos uma pessoa no conjunto tiver a doença).

Passo 1

O enunciado trata de agrupar em cada conjunto de 10 pessoas um teste de sangue. Se nenhuma pessoa tiver a doença, fazemos só 1 teste; caso contrário, fazemos o teste do grupo mais mais 10 testes individuais, totalizando 11 testes. O conteúdo aqui é valor esperado de uma variável aleatória discreta.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de testes necessários para um grupo de 10 pessoas. Então
X = 1, & se nenhuma pessoa do grupo tiver a doença, 11, & se pelo menos uma pessoa do grupo tiver a doença çç

Passo 3

A probabilidade de uma pessoa não ter a doença é 1 - 0,1 = 0,9. Como os eventos são independentes,
Pr(nenhuma doente) = 0,9^10, Pr(pelo menos uma doente) = 1 - 0,9^10

Passo 4

Pelo conceito de valor esperado, temos
E(X) = 1 cdot Pr(nenhuma doente) + 11 cdot Pr(pelo menos uma doente) = 1cdot 0,9^10 + 11cdotl(1-0,9^10r)

Passo 5

Bast a calcular numericamente
0,9^10approx 0,3486784401, 1-0,9^10approx 0,6513215599,
E(X)approx 1cdot0,3486784 + 11cdot0,6513216 approx 7,513216

Resposta

E(X)=0,9^10 + 11,l(1-0,9^10r)approx 7,51

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