Questão 58.

Uma máquina impressora tem uma probabilidade constante de 0,05 de entrar em pane, em um dia qualquer. Se a máquina não apresentar panes durante a semana, um lucro de R \mathrm{~S} será obtido Se 1 ou 2 panes ocorrerem, um lucro de Rá R será alcançado ( R<S ). Se 3 ou mais panes ocorrerem, um prejuízo de R$L será obtido. Suponha que, se a máquina entrar em pane em qualquer dia, ela permanecerá parada durante o resto do dia. Seja L será obtido Suponha que, se a máquina entrar em pane em qualquer dia, ela permanecerá parada durante o resto do dia Seja o lucro líquido obtido na semana de cinco dias úteis. Qual o valor esperado de o lucro líquido obtido na semana de cinco dias úteis Qual o valor esperado de e o que esse valor significa?

Passo 1

O enunciado descreve uma máquina que em cada dia de trabalho tem probabilidade constante de entrar em pane igual a . Trabalhando cinco dias por semana, define-se o lucro líquido semanal de acordo com o número de panes nos cinco dias: se não houver panes obtém-se lucro de R$ ; se houver ou panes, lucro de R$ (com ); se houver ou mais panes, prejuízo de R$ . Precisamos calcular o valor esperado e interpretar esse resultado.

Passo 2

Chamando Y o número de dias com pane em cinco dias, temos
Y sim Binl(n=5,;p=0,05r)
ou seja,
Pl(Y=kr)=binom5k(0,05)^k(0,95)^5-k, k=0,1,2,dots,5

Passo 3

O lucro X pode ser escrito em função de Y assim:
X = S, & Y=0, R, & Y=1 ou Y=2, -,L, & Y>=3

Passo 4

Calculamos as probabilidades relevantes:
P(Y=0)=(0,95)^5,
P(Y=1)=binom51(0,05)(0,95)^4,
P(Y=2)=binom52(0,05)^2(0,95)^3,
P(Y>=3)=1-l[P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)r]

Passo 5

Pelo conceito de valor esperado de variável discreta,
E[X] =sumk=0^5 xk,P(Y=k),
onde xk é o lucro correspondente a Y=k. Assim
E[X] = S,P(Y=0) + Rl[P(Y=1)+P(Y=2)r] - L,P(Y>=3)

Passo 6

Substituindo as probabilidades binomiais, chega-se a
E[X] = S,(0,95)^5 + Rl[binom51(0,05)(0,95)^4+binom52(0,05)^2(0,95)^3r] - Ll[1-(0,95)^5-binom51(0,05)(0,95)^4-binom52(0,05)^2(0,95)^3r]

Passo 7

Em geral, o valor esperado de uma variável aleatória é a média ponderada de todos os seus valores possíveis, usando as probabilidades como pesos. Ele representa o valor médio que se obtém repetindo-se o experimento muitas vezes.

Resposta

E[X] = S,(0,95)^5 + Rl[binom51(0,05)(0,95)^4+binom52(0,05)^2(0,95)^3r] - Ll[1-(0,95)^5-binom51(0,05)(0,95)^4-binom52(0,05)^2(0,95)^3r]
Esse valor representa o lucro líquido médio semanal da impressora, levando em conta a probabilidade de panes ao longo de cinco dias.

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