Uma máquina impressora tem uma probabilidade constante de 0,05 de entrar em pane, em um dia qualquer. Se a máquina não apresentar panes durante a semana, um lucro de \mathrm{~S} R será alcançado ( ). Se 3 ou mais panes ocorrerem, um prejuízo de R$L será obtido. Suponha que, se a máquina entrar em pane em qualquer dia, ela permanecerá parada durante o resto do dia. Sejao lucro líquido obtido na semana de cinco dias úteis. Qual o valor esperado de e o que esse valor significa?
Passo 1
O enunciado descreve uma máquina que em cada dia de trabalho tem probabilidade constante de entrar em pane igual a . Trabalhando cinco dias por semana, define-se o lucro líquido semanal de acordo com o número de panes nos cinco dias: se não houver panes obtém-se lucro de R$; se houver ou panes, lucro de R$ (com ); se houver ou mais panes, prejuízo de R$ . Precisamos calcular o valor esperado e interpretar esse resultado.
Passo 2
Chamando o número de dias com pane em cinco dias, temos
ou seja,
Passo 3
O lucro pode ser escrito em função de assim:
Passo 4
Calculamos as probabilidades relevantes:
P(Y=0)=(0,95)^5,
P(Y=1)=binom51(0,05)(0,95)^4,
P(Y=2)=binom52(0,05)^2(0,95)^3,
P(Y>=3)=1-l[P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)r]
Passo 5
Pelo conceito de valor esperado de variável discreta,
E[X] =sumk=0^5 xk,P(Y=k),
onde xk é o lucro correspondente a Y=k. Assim
E[X] = S,P(Y=0) + Rl[P(Y=1)+P(Y=2)r] - L,P(Y>=3)
Passo 6
Substituindo as probabilidades binomiais, chega-se a
Em geral, o valor esperado de uma variável aleatória é a média ponderada de todos os seus valores possíveis, usando as probabilidades como pesos. Ele representa o valor médio que se obtém repetindo-se o experimento muitas vezes.