Nos problemas de 1 a 8, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
(5)
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Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
Informações dadas:
é a função desconhecida de
definida no intervalo que contém
e
.
Temos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não-homogênea e duas condições de contorno em e
.
A tarefa é encontrar uma função que satisfaça a equação e as duas condições, ou mostrar que tal função não existe.
Temos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não-homogênea e duas condições de contorno em
A tarefa é encontrar uma função
Passo 2
Estratégia de resolução (explicação didática):
Para uma equação linear de segunda ordem não-homogênea do tipo
Para uma equação linear de segunda ordem não-homogênea do tipo
a solução geral é a soma de uma solução geral da equação homogênea associada (chamada de solução complementar) e de uma solução particular de toda a equação. Ou seja,
onde
satisfaz
e
satisfaz
.
Vou primeiro achar e depois um
adequado.
Vou primeiro achar
Passo 3
Resolver a equação homogênea:
A equação característica é
, cujas raízes são
. Assim, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Aqui
e
são as duas soluções linearly independentes associadas às raízes imaginárias.)
Passo 4
Procurar uma solução particular
por coeficientes indeterminados:
O termo não-homogêneo é , um polinômio de grau
. Uma escolha natural para
é um polinômio do mesmo grau:
O termo não-homogêneo é
com
constantes a determinar.
Calcule as derivadas:
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando coeficientes do polinômio à direita obtemos
Logo
Observação didática: a escolha de
é válida porque nenhum termo de
coincide com soluções da homogênea (
), então não há necessidade de multiplicar por
para obter uma forma válida.
Passo 5
Escrever a solução geral da equação não-homogênea:
Agora impomos as condições de contorno para determinar
e
.
Passo 6
Impor a condição
:
Calcule :
Calcule
A condição
dá
Passo 7
Impor a condição
:
Calcule usando
:
Calcule
A condição
exigiria
, o que é impossível. Em termos das constantes, tentar satisfazer ambas as condições leva a um sistema inconsistente:
contradição entre
e
.
Passo 8
Conclusão explicada: a solução geral da equação existe, mas nenhuma escolha de
satisfaz simultaneamente as duas condições de contorno dadas. Isso significa que o problema de valor de contorno é incompatível — as condições de contorno exigem valores que a família de soluções não pode cumprir ao mesmo tempo. Portanto não existe função
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições impostas.
Resposta
O problema de valor de contorno não possui solução.