Nos problemas de 1 a 8, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
(5) y^{\prime \prime}+y=x, y(0)=0, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
y''+y=x,\qquad y(0)=0,\qquad y(\pi)=0.
Informações dadas:
\;y é a função desconhecida de x definida no intervalo que contém 0 e \pi.
Temos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não-homogênea e duas condições de contorno em x=0 e x=\pi.
A tarefa é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação e as duas condições, ou mostrar que tal função não existe.

Passo 2

Estratégia de resolução (explicação didática):
Para uma equação linear de segunda ordem não-homogênea do tipo
y''+y=f(x),
a solução geral é a soma de uma solução geral da equação homogênea associada (chamada de solução complementar) e de uma solução particular de toda a equação. Ou seja,
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h satisfaz y_h''+y_h=0 e y_p satisfaz y_p''+y_p=f(x).
Vou primeiro achar y_h e depois um y_p adequado.

Passo 3

Resolver a equação homogênea:
y_h''+y_h=0.
A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=\pm i. Assim, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Aqui \cos x e \sin x são as duas soluções linearly independentes associadas às raízes imaginárias.)

Passo 4

Procurar uma solução particular y_p por coeficientes indeterminados:
O termo não-homogêneo é f(x)=x, um polinômio de grau 1. Uma escolha natural para y_p é um polinômio do mesmo grau:
y_p(x)=ax+b,
com a,b constantes a determinar.
Calcule as derivadas:
y_p'(x)=a,\qquad y_p''(x)=0.
Substituindo na equação:
y_p''+y_p = 0 + (ax+b) = ax+b \stackrel{!}{=} x.
Igualando coeficientes do polinômio à direita obtemos
a=1,\qquad b=0.
Logo
y_p(x)=x.
Observação didática: a escolha de ax+b é válida porque nenhum termo de ax+b coincide com soluções da homogênea ( \cos x,\sin x), então não há necessidade de multiplicar por x para obter uma forma válida.

Passo 5

Escrever a solução geral da equação não-homogênea:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + x.
Agora impomos as condições de contorno para determinar C_1 e C_2.

Passo 6

Impor a condição y(0)=0:
Calcule y(0):
y(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 + 0 = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
A condição y(0)=0
C_1=0.

Passo 7

Impor a condição y(\pi)=0:
Calcule y(\pi) usando C_1=0:
y(\pi)=C_1\cos\pi + C_2\sin\pi + \pi = 0\cdot(-1) + C_2\cdot 0 + \pi = \pi.
A condição y(\pi)=0 exigiria \pi=0, o que é impossível. Em termos das constantes, tentar satisfazer ambas as condições leva a um sistema inconsistente:
C_1=0,\qquad -C_1+\pi=0 \Rightarrow C_1=\pi,
contradição entre C_1=0 e C_1=\pi.

Passo 8

Conclusão explicada: a solução geral da equação existe, mas nenhuma escolha de C_1,C_2 satisfaz simultaneamente as duas condições de contorno dadas. Isso significa que o problema de valor de contorno é incompatível — as condições de contorno exigem valores que a família de soluções não pode cumprir ao mesmo tempo. Portanto não existe função y que satisfaça a equação diferencial e as duas condições impostas.

Resposta

O problema de valor de contorno não possui solução.

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