Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
P(L, K)=1,47 L^{0,65} k^{0,35}
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando L=30 e K=8, a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de 2.000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de \ 500.000$ por ano. Encontre a taxa de variação da produção.
Resp. : Decrescendo em $569,00 por ano

Passo 1

O enunciado dá a função de produção e pede a taxa de variação da produção no instante em que L=30 e K=8, sabendo as taxas de variação de L e K. Dados importantes fornecidos:
P(L,K)=1,47\,L^{0,65}K^{0,35}.
Informações numéricas e unidades (explicitadas):
L=30\quad(\text{em milhares de horas}),
K=8\quad(\text{em milhões de dólares}),õó
a força de trabalho está decrescendo a 2{.}000 horas por ano, isto é,
\frac{dL}{dt}=-2\quad\left(\text{em milhares de horas por ano, pois }-2{.}000/1{.}000=-2\right),
o capital aumenta em \$500{.}000 por ano, isto é,
\frac{dK}{dt}=0,5\quad\left(\text{em milhões de dólares por ano}\right).õó
O que se pede: encontrar \dfrac{dP}{dt} na situação dada e interpretar o sinal (a produção está crescendo ou decrescendo) e a magnitude (em milhões de dólares por ano ou em dólares por ano).

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): como P depende de duas variáveis L e K que variam com o tempo, a taxa total de variação de P é dada pela derivada total em relação a t:
\frac{dP}{dt}=\frac{\partial P}{\partial L}\frac{dL}{dt}+\frac{\partial P}{\partial K}\frac{dK}{dt}.
Explicando isso devagarinho:
  • \dfrac{\partial P}{\partial L} é a derivada parcial de P em relação a L: diz quanto P muda quando só L muda, mantendo K fixo (unidade: milhões de dólares por mil horas).
  • \dfrac{\partial P}{\partial K} é a derivada parcial de P em relação a K: diz quanto P muda quando só K muda, mantendo L fixo (unidade: milhões de dólares por milhão de dólares de capital).
  • Multiplicando cada parcial pela taxa de variação respectiva ( \dfrac{dL}{dt} e \dfrac{dK}{dt}) e somando, obtemos a taxa total \dfrac{dP}{dt} (unidade: milhões de dólares por ano).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais usando a regra da potência. Lembre-se: se f(x)=x^{\alpha} então f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}. Aplicando isso a P(L,K)=1,47\,L^{0,65}K^{0,35}:
Derivada parcial em relação a L:
\frac{\partial P}{\partial L} =1,47\cdot 0,65\;L^{0,65-1}K^{0,35} = (1,47\cdot 0,65)\;L^{-0,35}K^{0,35}.
Derivada parcial em relação a K:
\frac{\partial P}{\partial K} =1,47\cdot 0,35\;L^{0,65}K^{0,35-1} = (1,47\cdot 0,35)\;L^{0,65}K^{-0,65}.
Calcule os coeficientes numéricos:
1,47\cdot 0,65=0,9555,\qquad 1,47\cdot 0,35=0,5145.
Portanto,
\frac{\partial P}{\partial L}=0,9555\,L^{-0,35}K^{0,35},
\frac{\partial P}{\partial K}=0,5145\,L^{0,65}K^{-0,65}.

Passo 4

Avaliar as parciais no ponto L=30, K=8. Para simplificar, observe que
L^{-0,35}K^{0,35}=\left(\frac{K}{L}\right)^{0,35}, \qquad L^{0,65}K^{-0,65}=\left(\frac{L}{K}\right)^{0,65}.
Logo
\left.\frac{\partial P}{\partial L}\right|_{(30,8)}=0,9555\left(\frac{8}{30}\right)^{0,35},
\left.\frac{\partial P}{\partial K}\right|_{(30,8)}=0,5145\left(\frac{30}{8}\right)^{0,65}.
Agora aproximamos numericamente (usando cálculo de potências):
Calcule \left(\dfrac{8}{30}\right)^{0,35}. Temos \dfrac{8}{30}=0,266\overline{6}. Elevando a 0,35 obtém-se aproximadamente 0,629. Multiplicando:
\left.\frac{\partial P}{\partial L}\right|_{(30,8)}\approx 0,9555\cdot 0,629\approx 0,602\quad\left(\text{milhões de \$ por mil horas}\right).õ
Calcule \left(\dfrac{30}{8}\right)^{0,65}. Temos \dfrac{30}{8}=3{,}75. Elevando a 0,65 obtém-se aproximadamente 2{,}361. Multiplicando:
\left.\frac{\partial P}{\partial K}\right|_{(30,8)}\approx 0,5145\cdot 2{,}361\approx 1{,}214\quad\left(\text{milhões de \$por milhão de \$ de capital}\right).õã
(Observação didática: as potências fracionárias normalmente são avaliadas com calculadora; nos cálculos acima mantive aproximações com três casas significativas que são suficientes para o resultado.)

Passo 5

Usar a fórmula da derivada total:
\frac{dP}{dt}=\left.\frac{\partial P}{\partial L}\right|_{(30,8)}\frac{dL}{dt}+\left.\frac{\partial P}{\partial K}\right|_{(30,8)}\frac{dK}{dt}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{dP}{dt}\approx (0,602)\cdot(-2)+(1,214)\cdot(0,5).
Calcule cada contribuição:
(0,602)\cdot(-2)=-1,204\quad(\text{milhões de \$ por ano}),õ
(1,214)\cdot(0,5)=0,607\quad(\text{milhões de \$ por ano}).õ
Somando:
\frac{dP}{dt}\approx -1,204+0,607=-0,597\quad(\text{milhões de \$ por ano}).õ
Interpretação: \dfrac{dP}{dt}<0 significa que a produção total está decrescendo. Em termos de dólares por ano, -0,597 milhões de dólares por ano equivale a cerca de -\$597{.}000 por ano (aproximação).

Resposta

Decrescendo em aproximadamente -0,597 milhões de dólares por ano (ou seja, cerca de -\$597{.}000 por ano).

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