Use a derivação implícita para determinar \frac{\delta z}{\delta x} e \frac{\delta z}{\delta y}
e^{z}=x y z
Passo 1
O enunciado pede para determinar \frac{\delta z}{\delta x} e \frac{\delta z}{\delta y} a partir da equação
e^{z} = x y z.
Informações dadas e observações úteis que já podemos listar:
A equação relaciona x, y e z.
Aqui z é uma função de x e y (ou seja z = z(x,y)); queremos as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
Devemos usar diferenciação implícita: diferenciar ambos os lados da equação em relação a x (mantendo y constante) para obter \frac{\delta z}{\delta x}, e em relação a y (mantendo x constante) para obter \frac{\delta z}{\delta y}.
Passo 2
Lembra do que acontece quando diferenciamos uma função composta como e^{z(x,y)}? A regra é esta (cadeia):
se \,F(u)=e^{u} e u=z(x,y), então a derivada de F(u) em relação a x é
Ou seja, derivamos a função externa e^{u} (dando e^{u}) e multiplicamos pela derivada da função interna u=z(x,y). O mesmo vale ao derivar em relação a y.
Passo 3
Antes de diferenciar, lembramos também da regra do produto: se temos produto de duas funções u(x)\cdot v(x), então
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
No nosso caso, o lado direito é x y z(x,y), que é um produto de três fatores. Para diferenciar em relação a x (mantendo y constante) podemos aplicar a regra do produto estendendo-a: tratar x e z(x,y) como funções de x, enquanto y é constante.
Passo 4
Diferenciando ambos os lados em relação a x (com y constante):
esquerda:
direita: aplicar produto em x\cdot y\cdot z. Como y é constante,
\frac{\delta}{\delta x}(x y z) = \underbrace{\frac{\delta}{\delta x}(x)}_{=1}\cdot y z + x\cdot y\cdot\frac{\delta z}{\delta x} = y z + x y \cdot\frac{\delta z}{\delta x}.
Portanto, a igualdade das derivadas dá
e^{z}\cdot\frac{\delta z}{\delta x} = y z + x y \cdot\frac{\delta z}{\delta x}.
Passo 5
Agora isolamos \frac{\delta z}{\delta x}. Colocamos todos os termos que contêm \frac{\delta z}{\delta x} no mesmo lado:
e^{z}\cdot\frac{\delta z}{\delta x} - x y \cdot\frac{\delta z}{\delta x} = y z.
Fatorando \frac{\delta z}{\delta x}:
\big(e^{z} - x y\big)\cdot\frac{\delta z}{\delta x} = y z.
Finalmente, desde que e^{z}-x y \neq 0,
\frac{\delta z}{\delta x} = \frac{y z}{e^{z} - x y}.
Passo 6
Agora repetimos o processo para \frac{\delta z}{\delta y}: diferenciamos a equação original em relação a y (com x constante).
Direita: diferenciando x y z em relação a y (com x constante),
\frac{\delta}{\delta y}(x y z) = x\cdot z + x\cdot y\cdot\frac{\delta z}{\delta y} = x z + x y \cdot\frac{\delta z}{\delta y}.
Logo a igualdade das derivadas é
e^{z}\cdot\frac{\delta z}{\delta y} = x z + x y \cdot\frac{\delta z}{\delta y}.
Passo 7
Isolamos \frac{\delta z}{\delta y}. Subtraindo o termo com \frac{\delta z}{\delta y} no lado direito:
e^{z}\cdot\frac{\delta z}{\delta y} - x y \cdot\frac{\delta z}{\delta y} = x z,
ou
\big(e^{z} - x y\big)\cdot\frac{\delta z}{\delta y} = x z.
Portanto, para e^{z}-x y \neq 0,
\frac{\delta z}{\delta y} = \frac{x z}{e^{z} - x y}.
Observação final: se e^{z}-x y = 0 naquele ponto, o raciocínio acima não isola a derivada (denominador zero) e seria necessário analisar o caso com mais cuidado (teorema da função implícita / existência local).