Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
; função solução
[14.]
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Equação diferencial:
- Função candidata (a ser verificada):
em que e são constantes arbitrárias e é a variável independente.
O pedido: usar diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes
e
. Ou seja, substituir a função na equação e mostrar que a igualdade é satisfeita independentemente de
e
.
Passo 2
Relembrando rapidamente (aulas rápidas de derivação):
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - Regra do fator constante: se
é constante e é função, então .
Aquie são constantes, então aplicam-se as regras acima.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
pela diferenciação termo a termo usando as regras do passo anterior:
Derivando cada termo:
Substituindo as derivadas conhecidas:
Portanto:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
termo a termo:
Derivando:
Substituindo as derivadas:
Ou de forma reorganizada:
Passo 5
Agora substituo
e
no lado esquerdo da equação
e verifico se obtém
:
Agrupando termos semelhantes:
As primeiras duas somas cancelam-se (cada par soma zero), restando:
Isso mostra que a igualdade da equação diferencial é satisfeita.
Passo 6
Interpretação final didática e motivadora: o cálculo acima é a verificação por substituição — método padrão para mostrar que uma função é solução de uma equação diferencial. Observa-se que os termos com
e
correspondem à solução geral da equação homogênea associada (
) e que
é uma solução particular da equação não homogênea; mas, para o pedido, bastou diferenciar e verificar que
produz exatamente
, independentemente dos valores de
e
. Ótimo trabalho: a função funciona para quaisquer constantes
e
!
Resposta
A função
satisfaz
para quaisquer constantes
e
.