Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[14.]
x^{\prime \prime}+x=2 e^{t}; função solução x(t)=C cos (t)+D \operatorname{sen}(t)+e^{t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Equação diferencial: x''+x=2e^{t}.
  • Função candidata (a ser verificada): x(t)=C\cos(t)+D\sin(t)+e^{t}, em que \,C e \,D são constantes arbitrárias e t é a variável independente.
O pedido: usar diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes C e D. Ou seja, substituir a função na equação e mostrar que a igualdade é satisfeita independentemente de C e D.

Passo 2

Relembrando rapidamente (aulas rápidas de derivação):
  • A derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t).
  • A derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t).
  • A derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}.
  • Regra do fator constante: se a é constante e f(t) é função, então \dfrac{d}{dt}\big(a f(t)\big)=a\,f'(t).
    Aqui \,C e \,D são constantes, então aplicam-se as regras acima.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \,x'(t) pela diferenciação termo a termo usando as regras do passo anterior:
x(t)=C\cos(t)+D\sin(t)+e^{t}
Derivando cada termo:
x'(t)=C\cdot\frac{d}{dt}\big(\cos(t)\big)+D\cdot\frac{d}{dt}\big(\sin(t)\big)+\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big).
Substituindo as derivadas conhecidas:
x'(t)=C\big(-\sin(t)\big)+D\big(\cos(t)\big)+e^{t}.
Portanto:
x'(t)=-C\sin(t)+D\cos(t)+e^{t}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada \,x''(t) derivando \,x'(t) termo a termo:
x'(t)=-C\sin(t)+D\cos(t)+e^{t}
Derivando:
x''(t)=-C\cdot\frac{d}{dt}\big(\sin(t)\big)+D\cdot\frac{d}{dt}\big(\cos(t)\big)+\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big).
Substituindo as derivadas:
x''(t)=-C\big(\cos(t)\big)+D\big(-\sin(t)\big)+e^{t}.
Ou de forma reorganizada:
x''(t)=-C\cos(t)-D\sin(t)+e^{t}.

Passo 5

Agora substituo \,x''(t) e \,x(t) no lado esquerdo da equação \,x''+x e verifico se obtém 2e^{t}:
x''(t)+x(t)=\big(-C\cos(t)-D\sin(t)+e^{t}\big)+\big(C\cos(t)+D\sin(t)+e^{t}\big).
Agrupando termos semelhantes:
x''(t)+x(t)=\big(-C\cos(t)+C\cos(t)\big)+\big(-D\sin(t)+D\sin(t)\big)+\big(e^{t}+e^{t}\big).
As primeiras duas somas cancelam-se (cada par soma zero), restando:
x''(t)+x(t)=2e^{t}.
Isso mostra que a igualdade da equação diferencial é satisfeita.

Passo 6

Interpretação final didática e motivadora: o cálculo acima é a verificação por substituição — método padrão para mostrar que uma função é solução de uma equação diferencial. Observa-se que os termos com C e D correspondem à solução geral da equação homogênea associada ( x''+x=0) e que e^{t} é uma solução particular da equação não homogênea; mas, para o pedido, bastou diferenciar e verificar que \,x''+x produz exatamente \,2e^{t}, independentemente dos valores de C e D. Ótimo trabalho: a função funciona para quaisquer constantes C e D!

Resposta

A função \displaystyle x(t)=C\cos(t)+D\sin(t)+e^{t} satisfaz \displaystyle x''+x=2e^{t} para quaisquer constantes C e D.

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