Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
y^{\prime}=y^{2}, y(0)=-\frac{1}{2} ; família de soluções, y(t)=\frac{1}{C-t}

Passo 1

O enunciado dá:
  • A equação diferencial: y' = y^{2}.
  • A condição inicial: y(0) = -\tfrac{1}{2}.
  • A família proposta de funções: \displaystyle y(t)=\frac{1}{C-t}, onde C é uma constante arbitrária.
O que se pede:
  1. Mostrar, por diferenciação, que a família \displaystyle y(t)=\frac{1}{C-t} satisfaz a equação y' = y^{2} para todo valor da constante C (no domínio onde a função está definida).
  2. Usar a condição inicial para determinar a constante C e obter a solução particular correspondente.

Passo 2

Escrevemos a função proposta numa forma que facilita a diferenciação:
y(t) = (C-t)^{-1}.
Vou usar a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz: se y(t)=f(u(t)) com u(t)=C-t e f(u)=u^{-1}, então
y'(t) = f'(u(t))\cdot u'(t).
Aqui f(u)=u^{-1} tem derivada f'(u)=-u^{-2}. E u(t)=C-t tem derivada u'(t)=-1.

Passo 3

Aplicando as derivadas encontradas:
y'(t)=f'(u(t))\cdot u'(t)=\bigl(- (C-t)^{-2}\bigr)\cdot(-1).
Multiplicando os sinais:
y'(t)=(C-t)^{-2}.

Passo 4

Agora calculamos y(t)^{2}:
y(t)^{2}=\bigl((C-t)^{-1}\bigr)^{2}=(C-t)^{-2}.
Comparando com o resultado de y'(t), vemos que
y'(t)=(C-t)^{-2}=y(t)^{2}.
Portanto, para qualquer constante C, a função \displaystyle y(t)=\frac{1}{C-t} satisfaz a equação diferencial y'=y^{2} para todo t tal que C-t\neq 0 (ou seja, no intervalo onde a função está bem definida — há uma singularidade em t=C).

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-\tfrac{1}{2}. Substituindo t=0 em \displaystyle y(0)=\frac{1}{C-0}=\frac{1}{C} e igualando:
\frac{1}{C}=-\frac{1}{2}.
Invertendo ambos os lados obtemos
C=-2.

Passo 6

Com C=-2 a solução particular é
y(t)=\frac{1}{-2-t}=-\frac{1}{2+t},
definida para t\neq -2. Essa função satisfaz y' = y^{2} e y(0)=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{C-t} satisfaz y'=y^{2} para qualquer constante C (no domínio C-t\neq0).
Com y(0)=-\tfrac{1}{2} obtém-se C=-2 e a solução particular \displaystyle y(t)=-\frac{1}{2+t}.

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