Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
família de soluções,
[15.]
Passo 1
O enunciado dá:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
. - A família proposta de funções:
, onde é uma constante arbitrária.
O que se pede:
- Mostrar, por diferenciação, que a família
satisfaz a equação para todo valor da constante (no domínio onde a função está definida). - Usar a condição inicial para determinar a constante
e obter a solução particular correspondente.
Passo 2
Escrevemos a função proposta numa forma que facilita a diferenciação:
Vou usar a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz: se
com
e
, então
Aqui
tem derivada
. E
tem derivada
.
Passo 3
Aplicando as derivadas encontradas:
Multiplicando os sinais:
Passo 4
Agora calculamos
:
Comparando com o resultado de
, vemos que
Portanto, para qualquer constante
, a função
satisfaz a equação diferencial
para todo
tal que
(ou seja, no intervalo onde a função está bem definida — há uma singularidade em
).
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
e igualando:
Invertendo ambos os lados obtemos
Passo 6
Com
a solução particular é
definida para
. Essa função satisfaz
e
.
Resposta
Com