Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
x^{\prime}=2 x, x(0)=-1; família de soluções, x(t)=C e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e fornece uma família de soluções. Lista do que temos (exatamente como está no enunciado):
  • Equação diferencial: x' = 2x.
  • Condição inicial: x(0) = -1.
  • Família proposta: x(t) = C e^{2t}, onde C é uma constante arbitrária.
O que pede: usar diferenciação para mostrar que a função dada é solução da equação para todos os valores de C e, em seguida, aplicar a condição inicial para determinar a constante particular.

Passo 2

Relembrando uma regra básica de diferenciação que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra da cadeia para exponenciais: se u(t) é uma função diferenciável, então \dfrac{d}{dt} e^{u(t)} = u'(t)\,e^{u(t)}. Aqui u(t)=2t, logo u'(t)=2.
  • Constante multiplicativa: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função, ou seja \dfrac{d}{dt}\big(C\cdot f(t)\big)=C\cdot f'(t).
Essas duas ideias juntas nos permitem diferenciar x(t)=C e^{2t}.

Passo 3

Calcular a derivada de x(t)=C e^{2t} passo a passo:
\frac{d}{dt}\big(C e^{2t}\big) = C\cdot\frac{d}{dt}\big(e^{2t}\big) = C\cdot\big(2 e^{2t}\big) = 2C e^{2t}.
Expliquei tudo: apliquei a regra da constante (puxei C para fora da derivada) e depois a regra da cadeia para e^{2t}.

Passo 4

Comparar a derivada obtida com o lado direito da equação diferencial. Como x(t)=C e^{2t}, temos:
x'(t)=2C e^{2t}=2\big(C e^{2t}\big)=2x(t).
Portanto a igualdade x'(t)=2x(t) é satisfeita para qualquer constante C. Logo a família x(t)=C e^{2t} é realmente uma família de soluções da equação diferencial.

Passo 5

Agora aplicar a condição inicial x(0)=-1 para determinar C. Substituindo t=0 em x(t)=C e^{2t}:
x(0)=C e^{0}=C\cdot 1 = C.
Como x(0)=-1, segue C=-1.

Passo 6

Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial usando o valor encontrado de C:
x(t) = -1\cdot e^{2t} = -e^{2t}.
Observação curtinha e motivadora: deu trabalho, mas segue a mesma receita para equações lineares simples — testar a família, diferenciar usando cadeia, e impor condições iniciais para fixar constantes. Vai dar certo na prova!

Resposta

A família x(t)=C e^{2t} satisfaz \,x'=2x\, para todo C.
Com x(0)=-1, a solução particular é x(t)=-e^{2t}.

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