Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
; família de soluções,
[15.]
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e fornece uma família de soluções. Lista do que temos (exatamente como está no enunciado):
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Família proposta:
, onde é uma constante arbitrária.
O que pede: usar diferenciação para mostrar que a função dada é solução da equação para todos os valores de
e, em seguida, aplicar a condição inicial para determinar a constante particular.
Passo 2
Relembrando uma regra básica de diferenciação que vamos usar (com explicação didática):
- Regra da cadeia para exponenciais: se
é uma função diferenciável, então . Aqui , logo . - Constante multiplicativa: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função, ou seja
.
Essas duas ideias juntas nos permitem diferenciar
.
Passo 3
Calcular a derivada de
passo a passo:
Expliquei tudo: apliquei a regra da constante (puxei
para fora da derivada) e depois a regra da cadeia para
.
Passo 4
Comparar a derivada obtida com o lado direito da equação diferencial. Como
, temos:
Portanto a igualdade
é satisfeita para qualquer constante
. Logo a família
é realmente uma família de soluções da equação diferencial.
Passo 5
Agora aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Como
, segue
.
Passo 6
Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial usando o valor encontrado de
:
Observação curtinha e motivadora: deu trabalho, mas segue a mesma receita para equações lineares simples — testar a família, diferenciar usando cadeia, e impor condições iniciais para fixar constantes. Vai dar certo na prova!
Resposta
A família
satisfaz
para todo
.
Com , a solução particular é
.
Com