Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
; família de soluções,
[15.]
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A equação diferencial e inicial:
. - A família proposta de soluções:
, onde é uma constante arbitrária.
O que precisa ser mostrado:
- Verificar por diferenciação que
satisfaz para todo . - Usar a condição inicial
para determinar o valor de e obter a solução particular.
Passo 2
Lembrando a regra da cadeia para exponencial: se
então
Aqui temos
. Calculemos
:
Substituindo em
obtemos
Agrupando os fatores:
Mas
, logo
Portanto a família
satisfaz a equação diferencial para qualquer constante
.
Passo 3
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na família:
Como
, segue que
.
Passo 4
Concluímos que:
- A família
é composta por soluções da equação para todos os valores da constante . - Com a condição inicial
obtemos a solução particular .