Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
x^{\prime}=2 t x, x(0)=1; família de soluções, x(t)=C e^{t^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A equação diferencial e inicial: \;x'(t)=2t\,x(t),\; x(0)=1.
  • A família proposta de soluções: \;x(t)=C\,e^{t^{2}}, onde C é uma constante arbitrária.
O que precisa ser mostrado:
  • Verificar por diferenciação que \;x(t)=C\,e^{t^{2}} satisfaz \;x'(t)=2t\,x(t) para todo C.
  • Usar a condição inicial \;x(0)=1 para determinar o valor de C e obter a solução particular.

Passo 2

Lembrando a regra da cadeia para exponencial: se \;x(t)=C\,e^{u(t)} então
x'(t)=C\cdot u'(t)\,e^{u(t)}.
Aqui temos u(t)=t^{2}. Calculemos u'(t):
u'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
Substituindo em x'(t) obtemos
x'(t)=C\cdot(2t)\,e^{t^{2}}.
Agrupando os fatores:
x'(t)=2t\bigl(C\,e^{t^{2}}\bigr).
Mas C\,e^{t^{2}}=x(t), logo
x'(t)=2t\,x(t).
Portanto a família \;x(t)=C\,e^{t^{2}} satisfaz a equação diferencial para qualquer constante C.

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial \;x(0)=1. Substituindo t=0 na família:
x(0)=C\,e^{0^{2}}=C\,e^{0}=C\cdot 1 = C.
Como x(0)=1, segue que C=1.

Passo 4

Concluímos que:
  • A família \;x(t)=C\,e^{t^{2}} é composta por soluções da equação \;x'=2t\,x para todos os valores da constante C.
  • Com a condição inicial \;x(0)=1 obtemos a solução particular \;x(t)=e^{t^{2}}.

Resposta

x(t)=C\,e^{t^{2}}
x(t)=e^{t^{2}}

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