Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
y^{\prime}=1+y^{2}, y(0)=1; família de soluções, y(t)=\tan (t+C)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial, e propõe uma família de soluções. Vou listar com calma o que é dado e o que se pede:
  • Equação diferencial: y' = 1 + y^{2}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Família proposta: y(t)=\tan(t+C), onde C é uma constante arbitrária.
O que precisamos mostrar:
  1. Verificar, por diferenciação, que a função y(t)=\tan(t+C) satisfaz a equação y' = 1 + y^{2} para todo valor da constante C.
  2. Usar a condição inicial y(0)=1 para determinar o(s) valor(es) de C que tornam a solução compatível com essa condição.

Passo 2

Vamos derivar y(t)=\tan(t+C) passo a passo. Primeiro lembrar a definição de tangente como razão:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Para derivar \tan(t+C) aplicamos a regra da cadeia e a regra do quociente. Seja u(t)=\sin(t+C) e v(t)=\cos(t+C). Então y(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)}. Calculamos as derivadas de u e v:
u'(t)=\cos(t+C),\qquad v'(t)=-\sin(t+C).
A regra do quociente diz que
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aplicando isso:
\frac{d}{dt}\tan(t+C) = \frac{\cos(t+C)\cdot\cos(t+C)-\sin(t+C)\cdot(-\sin(t+C))}{\cos^{2}(t+C)}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1:
\frac{d}{dt}\tan(t+C) = \frac{\cos^{2}(t+C)+\sin^{2}(t+C)}{\cos^{2}(t+C)} = \frac{1}{\cos^{2}(t+C)}.
A função \dfrac{1}{\cos^{2}x} é o \operatorname{sec}^{2}x, e também vale a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}x = 1+\tan^{2}x.
Portanto
y'(t)=\frac{d}{dt}\tan(t+C)=\operatorname{sec}^{2}(t+C)=1+\tan^{2}(t+C).
Mas \tan(t+C)=y(t), então obtemos a igualdade desejada:
y'(t)=1+y(t)^{2}.
Isso mostra que, para qualquer constante C, a função y(t)=\tan(t+C) satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo t=0 em y(t)=\tan(t+C)
y(0)=\tan\text{(C)}=1.
Queremos todos os C tais que \tan\text{(C)}=1. A equação \tan C=1 tem soluções dadas por
C=\arctan(1)+k\pi,
onde k é qualquer inteiro (porque \tan tem período \pi). Como \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}, obtemos
C=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Observações importantes sobre domínio e unicidade (úteis na prova/oral): a função \tan(t+C) tem singularidades quando \cos(t+C)=0, isto é, em valores de t tais que t+C=\tfrac{\pi}{2}+m\pi. Assim cada solução \tan(t+C) está bem definida apenas em intervalos que não cruzem essas singularidades. Para a condição inicial com C=\tfrac{\pi}{4}+k\pi, o intervalo maximal contendo t=0 onde a solução é contínua e definida é \big(-\tfrac{\pi}{4}-k\pi,\;\tfrac{\pi}{4}-k\pi\big); no caso usual com k=0 fica (-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}).
Também é bom lembrar que a existência e unicidade locais da solução para o problema de valor inicial são garantidas porque a função f(y)=1+y^{2} é contínua e localmente Lipschitz em y. Portanto a solução que achamos é a solução única definida no intervalo maximal que contém t=0.

Resposta

A família \,y(t)=\tan(t+C)\, satisfaz \,y'=1+y^{2}\, para todo C.\nCom y(0)=1 obtemos C=\dfrac{\pi}{4}+k\pi ( k\in\mathbb{Z}), logo a solução particular é \,y(t)=\tan\!\big(t+\tfrac{\pi}{4}\big)\, (mod \pi), definida em intervalos que não contêm os pontos onde \cos(t+C)=0.

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