Nos problemas seguintes, use a diferenciação para mostrar que a função dada é uma solução da equação para todos os valores das constantes.
[15.]
; família de soluções,
[15.]
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial, e propõe uma família de soluções. Vou listar com calma o que é dado e o que se pede:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Família proposta:
, onde é uma constante arbitrária.
O que precisamos mostrar:
- Verificar, por diferenciação, que a função
satisfaz a equação para todo valor da constante . - Usar a condição inicial
para determinar o(s) valor(es) de que tornam a solução compatível com essa condição.
Passo 2
Vamos derivar
passo a passo. Primeiro lembrar a definição de tangente como razão:
Para derivar
aplicamos a regra da cadeia e a regra do quociente. Seja
e
. Então
. Calculamos as derivadas de
e
:
A regra do quociente diz que
Aplicando isso:
Passo 3
Agora simplificamos o numerador usando
:
A função
é o
, e também vale a identidade trigonométrica
Portanto
Mas
, então obtemos a igualdade desejada:
Isso mostra que, para qualquer constante
, a função
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
em
dá
Queremos todos os
tais que
. A equação
tem soluções dadas por
onde
é qualquer inteiro (porque
tem período
). Como
, obtemos
Passo 5
Observações importantes sobre domínio e unicidade (úteis na prova/oral): a função
tem singularidades quando
, isto é, em valores de
tais que
. Assim cada solução
está bem definida apenas em intervalos que não cruzem essas singularidades. Para a condição inicial com
, o intervalo maximal contendo
onde a solução é contínua e definida é
; no caso usual com
fica
.
Também é bom lembrar que a existência e unicidade locais da solução para o problema de valor inicial são garantidas porque a função
é contínua e localmente Lipschitz em
. Portanto a solução que achamos é a solução única definida no intervalo maximal que contém
.
Resposta
A família
satisfaz
para todo
.\nCom
obtemos
(
), logo a solução particular é
(mod
), definida em intervalos que não contêm os pontos onde
.