Nos problemas a seguir encontre o máximo e o mínimo absoluto de cada função
f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} para x^{2}+y^{2} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=\sqrt{1 - x^2 - y^2}
sobre o disco fechado definido por
x^2 + y^2 \le 1.
O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em domínio fechado: vamos buscar pontos críticos no interior (onde a função é diferenciável) e analisar a fronteira x^2+y^2=1.

Passo 2

No interior do disco, x^2+y^2<1, a função é diferenciável e calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}.
Para pontos críticos igualamos cada derivada a zero, o que força x=0 e y=0. Logo o único crítico interior é (0,0), onde
f(0,0)=\sqrt{1-0-0}=1.

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=1, substituímos direto na definição de f:
f(x,y)=\sqrt{1 - 1}=0.
Portanto todos os pontos do círculo unitário dão valor 0.

Passo 4

Como o domínio é fechado e f é contínua, os valores em pontos críticos interiores e na fronteira são os candidatos a extremos absolutos. Comparando, obtemos os valores
\max f = 1, \quad \min f = 0.

Resposta

O valor máximo de f é 1, alcançado em (0,0).
O valor mínimo de f é 0, alcançado em todos os pontos da fronteira x^2+y^2=1.

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