Nos problemas, a seguir,
  • Esboce o gráfico da função dada por três períodos;
  • Encontre a série de Fourier da função dada;
  • Faça o gráfico de sm=(x) em função de x para m=5,10 e 20 .
f(x)=rc -1, & -2 <= x<0 1, & 0 <= x<2 f(x+4)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função periódica de período 4 dada por f(x)=−1 em −2≤x<0 e f(x)=1 em 0≤x<2, esboçar três períodos, obter sua série de Fourier e, por fim, desenhar as somas parciais s_m(x) para m=5,10 e 20.

Passo 2

Primeiro vamos esboçar o gráfico em três períodos: de x=−6 até x=6 a cada intervalo de comprimento 4 a função vale −1 em sua metade esquerda (comprimento 2) e 1 na metade direita.
Para achar a série de Fourier, lembramos que o período é T=4, então L=T/2=2, e as fórmulas dos coeficientes são
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(npi xLr)dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(npi xLr)dx

Passo 3

Como f é ímpar (f(−x)=−f(x)), dá para ver que a_0=0 e todos os a_n também se anulam.
O único coeficiente não-nulo é b_n. Fazendo a conta
bn=12integral-2^2f(x)sinl(npi x2r)dx =integral0^21cdotsinl(npi x2r)dx =4npil[1-(-1)^nr],
logo b_n=0 se n é par e b_n=\dfrac{4}{n\pi} se n é ímpar.

Passo 4

Assim a série de Fourier fica
f(x)=sumk=0^infty4(2k+1),pi,sinl((2k+1)pi x2r)

Passo 5

Chamamos de s_m(x) a soma dos m primeiros termos ímpares da série:
sm(x)=sumk=0^m-14(2k+1)pi,sinl((2k+1)pi x2r)

Passo 6

Para m=5,10 e 20 basta calcular s_m(x) e desenhar: conforme m cresce, s_m(x) se aproxima da onda quadrada, mas fica o overshoot de Gibbs próximo aos saltos.
Nos gráficos de s_5, s_{10} e s_{20} vemos que a aproximação melhora mais longe das descontinuidades, e o excesso de Gibbs permanece em torno de ±9% da descontinuidade.

Resposta

f(x)=sumk=0^infty4(2k+1),pi,sinl((2k+1)pi x2r)

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