Nos problemas, a seguir,
- Esboce o gráfico da função dada por três períodos;
- Encontre a série de Fourier da função dada;
- Faça o gráfico de
em função de
para
e 20 .
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a função periódica de período 4 dada por f(x)=−1 em −2≤x<0 e f(x)=1 em 0≤x<2, esboçar três períodos, obter sua série de Fourier e, por fim, desenhar as somas parciais s_m(x) para m=5,10 e 20.
Passo 2
Primeiro vamos esboçar o gráfico em três períodos: de x=−6 até x=6 a cada intervalo de comprimento 4 a função vale −1 em sua metade esquerda (comprimento 2) e 1 na metade direita.
Para achar a série de Fourier, lembramos que o período é T=4, então L=T/2=2, e as fórmulas dos coeficientes são
Para achar a série de Fourier, lembramos que o período é T=4, então L=T/2=2, e as fórmulas dos coeficientes são
Passo 3
Como f é ímpar (f(−x)=−f(x)), dá para ver que a_0=0 e todos os a_n também se anulam.
O único coeficiente não-nulo é b_n. Fazendo a conta
O único coeficiente não-nulo é b_n. Fazendo a conta
logo b_n=0 se n é par e b_n=\dfrac{4}{n\pi} se n é ímpar.
Passo 4
Assim a série de Fourier fica
Passo 5
Chamamos de s_m(x) a soma dos m primeiros termos ímpares da série:
Passo 6
Para m=5,10 e 20 basta calcular s_m(x) e desenhar: conforme m cresce, s_m(x) se aproxima da onda quadrada, mas fica o overshoot de Gibbs próximo aos saltos.
Nos gráficos de s_5, s_{10} e s_{20} vemos que a aproximação melhora mais longe das descontinuidades, e o excesso de Gibbs permanece em torno de ±9% da descontinuidade.
Nos gráficos de s_5, s_{10} e s_{20} vemos que a aproximação melhora mais longe das descontinuidades, e o excesso de Gibbs permanece em torno de ±9% da descontinuidade.