Seja
o campo vetorial dado por
e
a curva
, sendo
o segmento de reta indo de
a
e
o arco do circulo
, indo de
a
.
(b) Calcule a integral
usando o Teorema de Green.
(b) Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
, que é composta por dois pedaços:
, um segmento de reta de
a
, e
, um arco do círculo
indo de
a
com
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
suave em uma região
plana limitada por uma curva fechada
com orientação positiva (sentido anti-horário), a integral de linha ao redor de
de
é igual à integral dupla sobre
da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial
. Aqui,
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais:
Então, a diferença é:
Passo 4
Agora, precisamos definir a região
delimitada pela curva
. A curva
vai de
até
e
segue o arco do círculo
de
a
. Visualizando isso, a região
é como um “gotejamento” que começa no ponto
, desce até
e então segue o arco semicircular até
. Essa região é uma parte do circulo completo, mas apenas o lado direito (onde
).
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla sobre
para calcular
. Porém, como a região
envolve partes circulares, é mais fácil usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
A inequação
implica que
, ou seja,
varia de
a
. O raio
varia de
a
(raio do círculo).
Passo 6
Substituindo na integral dupla:
Calculando a integral interna em
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral
, usando o Teorema de Green, é igual a
.