Seja F o campo vetorial dado por F=(x^2 y,-x y^2) e C a curva C=C1 cup C2, sendo C1 o segmento de reta indo de (0,0) a (0,-1) e C2 o arco do circulo x^2+y^2=1, x >= 0, indo de (0,-1) a (0,1).
(b) Calcule a integral integralC F cdot dr usando o Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F = (x^2 y, -x y^2) ao longo da curva C, que é composta por dois pedaços: C1, um segmento de reta de (0,0) a (0,-1), e C2, um arco do círculo x^2 + y^2 = 1 indo de (0,-1) a (0,1) com x >= 0. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial F = (P, Q) suave em uma região D plana limitada por uma curva fechada C com orientação positiva (sentido anti-horário), a integral de linha ao redor de C de F cdot dr é igual à integral dupla sobre D da diferença das derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial F = (x^2 y, -x y^2). Aqui, P = x^2 y e Q = -x y^2. Precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (-x y^2) = -y^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y) = x^2
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -y^2 - x^2 = -(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, precisamos definir a região D delimitada pela curva C = C1 cup C2. A curva C1 vai de (0,0) até (0,-1) e C2 segue o arco do círculo x^2 + y^2 = 1 de (0,-1) a (0,1). Visualizando isso, a região D é como um “gotejamento” que começa no ponto (0,0), desce até (0,-1) e então segue o arco semicircular até (0,1). Essa região é uma parte do circulo completo, mas apenas o lado direito (onde x >= 0).

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla sobre D para calcular integral duplaD -(x^2 + y^2) dx,dy. Porém, como a região D envolve partes circulares, é mais fácil usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
dx,dy = r,dr,dtheta
A inequação x >= 0 implica que cos theta >= 0, ou seja, theta varia de -pi2 a pi2. O raio r varia de 0 a 1 (raio do círculo).

Passo 6

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD -(x^2 + y^2) dx,dy = integral-pi2^pi2 integral0^1 -r^2 cdot r,dr,dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^1 -r^3,dr,dtheta
Calculando a integral interna em r:
integral0^1 -r^3,dr = -[ r^44 ]0^1 = -( 14 - 0 ) = -14

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
integral-pi2^pi2 -14 ,dtheta = -14 [ theta ]-pi2^pi2 = -14 ( pi2 - (-pi2) ) = -14 cdot pi = -pi4

Resposta

A integral integralC F cdot dr, usando o Teorema de Green, é igual a -dfracpi4.

Exercícios relacionados