Nos problemas a seguir, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}-3 y=0, y(0)=1, \frac{d y}{d x}(0)=5.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
4\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4\frac{dy}{dx} - 3y = 0
sujeita a y(0)=1 e \frac{dy}{dx}(0)=5. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y=e^{rx}, obtemos a equação característica
4r^{2} - 4r - 3 = 0.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara em
4r^{2} - 4r - 3 = 0
temos
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}.

Passo 4

As raízes são
r_{1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad r_{2} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}.
Assim, a solução geral é
y(x) = C_{1}e^{\tfrac{3}{2}x} + C_{2}e^{-\tfrac{1}{2}x}.

Passo 5

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = \frac{3}{2}C_{1}e^{\tfrac{3}{2}x} \;-\;\frac{1}{2}C_{2}e^{-\tfrac{1}{2}x}.

Passo 6

Em x=0\) temos o sistema \[\begin{cases} y(0)=C_{1}+C_{2}=1,\\\ y'(0)=\tfrac{3}{2}C_{1}-\tfrac{1}{2}C_{2}=5. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 2\]: \[3C_{1}-C_{2}=10.\] Somando com \(C_{1}+C_{2}=1
4C_{1}=11\quad\Longrightarrow\quad C_{1}=\tfrac{11}{4},
e então
C_{2}=1-\tfrac{11}{4}=-\tfrac{7}{4}.

Passo 7

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos
y(x) =\frac{11}{4}e^{\tfrac{3}{2}x} -\frac{7}{4}e^{-\tfrac{1}{2}x}.

Resposta

y(x)=\frac{11}{4}e^{\tfrac{3}{2}x}-\frac{7}{4}e^{-\tfrac{1}{2}x}.

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