Nos problemas a seguir, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}+2 y=0, y(0)=0, \frac{d y}{d x}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O método padrão é usar a equação característica associada, encontrar suas raízes e escrever a solução geral conforme elas.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando y por e^{r x}:
r^2 + r + 2 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot2 = 1 - 8 = -7.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 3

As raízes complexas são
r = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}.
Para \alpha = -\tfrac12 e \beta = \tfrac{\sqrt7}{2}, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)\bigr) = e^{-\tfrac{x}{2}}\bigl(A\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr) + B\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr)\bigr).

Passo 4

Impondo y(0)=0 obtemos
y(0) = e^{0}\bigl(A\cos0 + B\sin0\bigr) = A = 0.
Logo A=0 e a solução passa a ser
y(x) = B\,e^{-\tfrac{x}{2}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr).

Passo 5

Agora calculamos y'(x) e aplicamos y'(0)=0.
Derivando
y'(x) = B\frac{d}{dx}\Bigl[e^{-\tfrac{x}{2}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}x\bigr)\Bigr] = B\,e^{-\tfrac{x}{2}}\Bigl(-\tfrac12\sin(\beta x) + \beta\cos(\beta x)\Bigr),
onde \beta=\tfrac{\sqrt7}{2}. Avaliando em x=0:
y'(0) = B\Bigl(-\tfrac12\cdot0 + \beta\cdot1\Bigr) = B\,\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Portanto o único ajuste que satisfaz ambas condições iniciais é B=0.

Resposta

y(x) = 0.

Exercícios relacionados