Nos problemas a seguir, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=0, y(1)=0, \frac{d y}{d x}(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(1)=0 e \frac{dy}{dx}(1)=1. O método envolve achar a equação característica, obter as raízes, montar a solução geral e ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^{2} - 3r + 2 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2},
logo as raízes são r_{1}=1 e r_{2}=2.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada
\frac{dy}{dx} = C_{1}e^{x} + 2C_{2}e^{2x},
e aplicamos as condições em x=1:
y(1)=C_{1}e + C_{2}e^{2}=0,
\frac{dy}{dx}(1)=C_{1}e + 2C_{2}e^{2}=1.

Passo 5

Do sistema
\begin{cases} C_{1}e + C_{2}e^{2}=0,\\\ C_{1}e + 2C_{2}e^{2}=1, \end{cases}
subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
C_{2}e^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=e^{-2},
e então
C_{1}e = -C_{2}e^{2} = -e^{-2}e^{2} = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = -e^{-1}.
Substituindo em y(x)
y(x) = -e^{-1}e^{x} + e^{-2}e^{2x}.

Resposta

y(x) = -e^{\,x-1} + e^{\,2(x-1)}.

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