Verifique, utilizando o determinante Wronskiano, que os pares de funções dadas são linearmente independentes;
\left\{e^{3 x}, e^{-3 x}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções \{e^{3x},e^{-3x}\} são linearmente independentes, usando o determinante Wronskiano. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de ambas as funções e montar
W(f_{1},f_{2})(x) =\det\begin{pmatrix} f_{1}(x) & f_{2}(x)\\\ f_{1}'(x) & f_{2}'(x) \end{pmatrix}.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
f_{1}(x)=e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad f_{1}'(x)=\frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x},
f_{2}(x)=e^{-3x} \quad\Longrightarrow\quad f_{2}'(x)=\frac{d}{dx}e^{-3x}=-3e^{-3x}.

Passo 3

Substituindo no Wronskiano, obtemos
W(f_{1},f_{2})(x) =\det\begin{pmatrix} e^{3x} & e^{-3x}\\\\ 3e^{3x} & -3e^{-3x} \end{pmatrix} =e^{3x}\bigl(-3e^{-3x}\bigr)\;-\;e^{-3x}\bigl(3e^{3x}\bigr).

Passo 4

Simplificando a expressão acima,
W(f_{1},f_{2})(x) =-3 -3 =-6.
Como -6\neq0 para todo x, o Wronskiano nunca se anula.

Resposta

As funções e^{3x} e e^{-3x} são linearmente independentes, pois seu Wronskiano é igual a -6\neq0.

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