Nos problemas a seguir, use separação de variáveis quando apropriado, identifique os autovalores e autofunções, imponha as condições de contorno/iniciais, e escreva a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
6: Resolva a equação de Laplace para uma placa retangular sujeita às condições de contorno indicadas:
As condições de contorno variam nos itens:
a) \;u(0,y)=0,\;u(a,y)=0,\;u(x,0)=0,\;u(x,b)=f(x).
b) \;u(0,y)=0,\;u(a,y)=0,\;u(x,0)=f(x),\;u(x,b)=g(x).
c) \;u(0,y)=F(y),\;u(a,y)=G(y),\;u(x,0)=f(x),\;u(x,b)=g(x).
O enunciado pede usar separação de variáveis quando apropriado, identificar autovalores e autofunções, impor as condições e escrever a solução em séries (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
Observação: nas partes (a) e (b) as condições de contorno em x são homogêneas (zero nas bordas x=0 e x=a), então as autofunções em x naturais são senos. Na parte (c) teremos contorno não-homogêneo nas bordas verticais, então precisaremos decompor o problema por superposição — faremos isso passo a passo adiante.
Passo 2
Método geral por separação de variáveis (caso com contorno homogêneo em x) — passo didático e explicadinho:
Supomos uma solução do tipo produto
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por XY obtém-se
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, cada termo tem que ser uma constante oposta. Chamamos essa constante de -\lambda. Assim
Para as condições homogêneas X(0)=0 e X(a)=0 (casos (a) e (b)), buscamos soluções não-triviais de X''+\lambda X=0 com essas condições. Essas são funções seno com autovalores
Essas relações serão usadas para encontrar coeficientes via produtos internos.
Para cada \lambda_n a equação em y é
Y_n''-\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 Y_n=0,
cuja solução geral é combinação linear de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}. Como queremos funções regulares e as condições a impor são tipicamente em y=0 e y=b, a solução conveniente para as condições típicas (por exemplo Y(0)=0) é multiplicar \operatorname{sinh} pelo coeficiente apropriado. Em particular uma forma útil é
Explicação prática: uma maneira de pensar é que cada modo de x (cada seno) “propaga” em y com função hiperbólica \operatorname{sinh}; os coeficientes são obtidos projetando f(x) nos modos de x usando a ortogonalidade dos senos.
Passo 4
Resolução do item (b): bordas verticais homogêneas, top/bottom dados f(x) e g(x).
Ainda usamos X_n(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right) e \lambda_n=(n\pi/a)^2. A solução geral para o modo n em y é combinação linear de \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi y}{a}\right) e \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi(b-y)}{a}\right). Assim escrevemos
com F_n e G_n fornecidos acima. Interpretação: cada modo em x é ajustado para coincidir com os valores prescritos em y=0 e y=b por uma combinação linear das duas funções hiperbólicas que se anulam alternadamente em uma das bordas.
Passo 5
Comentário pedagógico sobre como obter os coeficientes (ortogonalidade) — isto é importante para a prova e rápido de aplicar:
Se h(x) é uma função definida em [0,a] e você quer a expansão
Mesma ideia se expandirmos funções em [0,b] em senos de y: o fator normalizador fica \dfrac{2}{b}.
Guarde isso: é o procedimento prático para calcular os F_n,G_n,B_n usados nas fórmulas anteriores.
Passo 6
Resolução do item (c): contornos gerais u(0,y)=F(y),\;u(a,y)=G(y),\;u(x,0)=f(x),\;u(x,b)=g(x).
Estratégia prática (por superposição) e por que funciona:
A equação de Laplace é linear, então podemos decompor u como soma de soluções que tratam separadamente os contornos verticais e horizontais.
Vamos escrever
u(x,y)=u^{(v)}(x,y)+u^{(h)}(x,y),
onde
u^{(v)} é solução de Laplace com contornos verticais dados e contornos horizontais zerados:u^{(v)}(0,y)=F(y),\quad u^{(v)}(a,y)=G(y),\quad u^{(v)}(x,0)=0,\quad u^{(v)}(x,b)=0.
u^{(h)} é solução de Laplace com contornos horizontais dados e contornos verticais zerados:u^{(h)}(0,y)=0,\quad u^{(h)}(a,y)=0,\quad u^{(h)}(x,0)=f(x),\quad u^{(h)}(x,b)=g(x).
Então u=u^{(v)}+u^{(h)} satisfaz todos os quatro contornos originais.
Agora resolvemos u^{(v)} e u^{(h)} separadamente.
Passo 7
Resolver u^{(h)} (parte horizontal) — já fizemos isso antes: é exatamente o caso (b) com F_n,G_n sendo as séries dos contornos f,g em senos em x. Repetindo a forma para clareza:
Esta expressão é a solução de Laplace que satisfaz as quatro condições de contorno gerais. Na prova: calcule primeiro as séries F_m^{(y)},G_m^{(y)},F_n^{(x)},G_n^{(x)} e então monte a soma. É sempre bom verificar consistência nos contornos (substituir x=0,a e y=0,b para ver se a soma reproduz os valores prescritos).]
Passo 10
Dicas finais para a prova (prático e encorajador):
Quando os contornos em x são zero, use senos em x. Quando os contornos em y são zero, use senos em y. Isso facilita muito.
Para problemas com contornos não homogêneos em ambos os pares de bordas, sempre pense em decompor por superposição (como no item (c)): resolva os problemas que têm um par de bordas não-nulas de cada vez e some.
Calcule os coeficientes projetando a função dada na base de senos (ou cossenos, se aparecerem), usando a fórmula H_n=\dfrac{2}{L}\int_0^{L} h(s)\sin\!\left(\dfrac{n\pi s}{L}\right)\,ds.
Faça um cheque rápido substituindo contornos para confirmar que a série converge para os valores prescritos (pelo menos aos modos que você calculou na prova).
Você consegue — siga os passos com calma: escrever a separação, achar autovalores, projetar as funções, achar coeficientes e montar a série.