Nos problemas a seguir, use separação de variáveis quando apropriado, identifique os autovalores e autofunções, imponha as condições de contorno/iniciais, e escreva a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
6: Resolva a equação de Laplace para uma placa retangular sujeita às condições de contorno indicadas:
\begin{gathered} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \\\ y=b \\\ x=0 \quad \text { Placa } 0<x<a, 0<y<b \quad x=a \\\ y=0 \end{gathered}
a)
\begin{aligned} & u(0, y)=0, \quad u(a, y)=0 \\\ & u(x, 0)=0, u(x, b)=f(x) \end{aligned}
b)
\begin{aligned} & u(0, y)=0, \quad u(a, y)=0 \\\ & u(x, 0)=f(x), u(x, b)=g(x) \end{aligned}
c)
\begin{aligned} & u(0, y)=F(y), \quad u(a, y)=G(y), \\\ & u(x, 0)=f(x), u(x, b)=g(x) \end{aligned}

Passo 1

Aqui está o que o enunciado pede e as informações dadas, bem devagar para não se perder:
  • Temos a equação de Laplace em uma placa retangular:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
definida no domínio \;0<x<a,\;0<y<b.
  • As condições de contorno variam nos itens:
    a) \;u(0,y)=0,\;u(a,y)=0,\;u(x,0)=0,\;u(x,b)=f(x).
    b) \;u(0,y)=0,\;u(a,y)=0,\;u(x,0)=f(x),\;u(x,b)=g(x).
    c) \;u(0,y)=F(y),\;u(a,y)=G(y),\;u(x,0)=f(x),\;u(x,b)=g(x).
  • O enunciado pede usar separação de variáveis quando apropriado, identificar autovalores e autofunções, impor as condições e escrever a solução em séries (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
Observação: nas partes (a) e (b) as condições de contorno em x são homogêneas (zero nas bordas x=0 e x=a), então as autofunções em x naturais são senos. Na parte (c) teremos contorno não-homogêneo nas bordas verticais, então precisaremos decompor o problema por superposição — faremos isso passo a passo adiante.

Passo 2

Método geral por separação de variáveis (caso com contorno homogêneo em x) — passo didático e explicadinho:
  1. Supomos uma solução do tipo produto
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por XY obtém-se
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, cada termo tem que ser uma constante oposta. Chamamos essa constante de -\lambda. Assim
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\qquad \frac{Y''(y)}{Y(y)}=+\lambda.
Isto leva ao sistema de ODEs
X''+\lambda X=0,\qquad Y''-\lambda Y=0.
  1. Para as condições homogêneas X(0)=0 e X(a)=0 (casos (a) e (b)), buscamos soluções não-triviais de X''+\lambda X=0 com essas condições. Essas são funções seno com autovalores
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\dots
e autofunções em x
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right).
Prova curta da ortogonalidade que vamos usar: para m\neq n,
\int_{0}^{a}\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx=0,
e
\int_{0}^{a}\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx=\frac{a}{2}.
Essas relações serão usadas para encontrar coeficientes via produtos internos.
  1. Para cada \lambda_n a equação em y é
Y_n''-\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 Y_n=0,
cuja solução geral é combinação linear de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}. Como queremos funções regulares e as condições a impor são tipicamente em y=0 e y=b, a solução conveniente para as condições típicas (por exemplo Y(0)=0) é multiplicar \operatorname{sinh} pelo coeficiente apropriado. Em particular uma forma útil é
Y_n(y)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)+B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi (b-y)}{a}\right),
pois avaliada em y=0 e y=b dá expressões simples para fixar coeficientes a partir dos contornos horizontais.
  1. A solução geral (quando as condições em x são homogêneas) é uma série
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} X_n(x)\,Y_n(y) =\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,Y_n(y).
Agora aplicamos isso caso a caso.

Passo 3

Resolução do item (a): bordas verticais e inferior nulas, topo dado f(x).
Dados:
u(0,y)=0,\quad u(a,y)=0,\quad u(x,0)=0,\quad u(x,b)=f(x).
  1. Como comentado, usamos autofunções em x:
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2.
  1. Para cada n a solução em y que satisfaz Y_n(0)=0 é proporcional a \operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right). Então tomamos
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right).
Isso garante já u(x,0)=0 e u(0,y)=u(a,y)=0 pela escolha dos X_n.
  1. Impor u(x,b)=f(x). Avaliando em y=b:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right).
Logo f(x) deve ser expandida na série de senos em [0,a]:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} B_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),
com os coeficientes dados por ortogonalidade:
B_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx.
  1. Comparando os dois desenvolvimentos obtemos
C_n\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)=B_n \quad\Longrightarrow\quad C_n=\frac{B_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)}.
  1. Conclusão: a solução para (a) é
\boxed{\,u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds\right)\frac{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi y}{a}\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right).\,}
Explicação prática: uma maneira de pensar é que cada modo de x (cada seno) “propaga” em y com função hiperbólica \operatorname{sinh}; os coeficientes são obtidos projetando f(x) nos modos de x usando a ortogonalidade dos senos.

Passo 4

Resolução do item (b): bordas verticais homogêneas, top/bottom dados f(x) e g(x).
Dados:
u(0,y)=0,\quad u(a,y)=0,\quad u(x,0)=f(x),\quad u(x,b)=g(x).
  1. Ainda usamos X_n(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right) e \lambda_n=(n\pi/a)^2. A solução geral para o modo n em y é combinação linear de \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi y}{a}\right) e \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi(b-y)}{a}\right). Assim escrevemos
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\Bigl(A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)+B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi (b-y)}{a}\right)\Bigr).
Essa forma é conveniente porque:
\text{em }y=0:\;Y_n(0)=B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right), \qquad \text{em }y=b:\;Y_n(b)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right).
  1. Expandimos f(x) e g(x) em séries de senos:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}F_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}G_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),
com
F_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds,\qquad G_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds.
  1. Igualando os coeficientes modo a modo nas condições y=0 e y=b, obtemos
B_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)=F_n,\qquad A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)=G_n.
Logo
A_n=\frac{G_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)},\qquad B_n=\frac{F_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}.
  1. Portanto a solução para (b) é
\boxed{\,u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\left( \frac{G_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) +\frac{F_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi (b-y)}{a}\right) \right),\,}
com F_n e G_n fornecidos acima. Interpretação: cada modo em x é ajustado para coincidir com os valores prescritos em y=0 e y=b por uma combinação linear das duas funções hiperbólicas que se anulam alternadamente em uma das bordas.

Passo 5

Comentário pedagógico sobre como obter os coeficientes (ortogonalidade) — isto é importante para a prova e rápido de aplicar:
  • Se h(x) é uma função definida em [0,a] e você quer a expansão
h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}H_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),
então multiplicando ambos os lados por \sin\!\left(\dfrac{m\pi x}{a}\right) e integrando de 0 a a, usando a ortogonalidade dos senos,
\int_{0}^{a}h(x)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx =\frac{a}{2}H_m.
Portanto
H_m=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}h(x)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx.
  • Mesma ideia se expandirmos funções em [0,b] em senos de y: o fator normalizador fica \dfrac{2}{b}.
Guarde isso: é o procedimento prático para calcular os F_n,G_n,B_n usados nas fórmulas anteriores.

Passo 6

Resolução do item (c): contornos gerais u(0,y)=F(y),\;u(a,y)=G(y),\;u(x,0)=f(x),\;u(x,b)=g(x).
Estratégia prática (por superposição) e por que funciona:
  • A equação de Laplace é linear, então podemos decompor u como soma de soluções que tratam separadamente os contornos verticais e horizontais.
  • Vamos escrever
u(x,y)=u^{(v)}(x,y)+u^{(h)}(x,y),
onde
  • u^{(v)} é solução de Laplace com contornos verticais dados e contornos horizontais zerados: u^{(v)}(0,y)=F(y),\quad u^{(v)}(a,y)=G(y),\quad u^{(v)}(x,0)=0,\quad u^{(v)}(x,b)=0.
  • u^{(h)} é solução de Laplace com contornos horizontais dados e contornos verticais zerados: u^{(h)}(0,y)=0,\quad u^{(h)}(a,y)=0,\quad u^{(h)}(x,0)=f(x),\quad u^{(h)}(x,b)=g(x).
Então u=u^{(v)}+u^{(h)} satisfaz todos os quatro contornos originais.
Agora resolvemos u^{(v)} e u^{(h)} separadamente.

Passo 7

Resolver u^{(h)} (parte horizontal) — já fizemos isso antes: é exatamente o caso (b) com F_n,G_n sendo as séries dos contornos f,g em senos em x. Repetindo a forma para clareza:
u^{(h)}(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\left( \frac{G_n^{(x)}}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) +\frac{F_n^{(x)}}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi (b-y)}{a}\right) \right),
onde
F_n^{(x)}=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds,\qquad G_n^{(x)}=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds.
Esse u^{(h)} satisfaz u^{(h)}(x,0)=f(x),\;u^{(h)}(x,b)=g(x) e é zero em x=0,a.

Passo 8

Resolver u^{(v)} (parte vertical): contornos verticais dados, horizontais nulos.
  1. Para u^{(v)} escolhemos separar variáveis mas visando condições homogêneas em y, então usamos autofunções em y:
Y_m(y)=\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right),\qquad m=1,2,\dots
essas satisfazem Y_m(0)=Y_m(b)=0. A ortogonalidade em y é
\int_{0}^{b}\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right)\,dy=\frac{b}{2}\delta_{mn}.
  1. Para o modo m, a equação em x fica
X_m''-\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2 X_m=0,
cuja solução geral é
X_m(x)=A_m\operatorname{cosh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right)+B_m\operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right).
  1. Assim escrevemos
u^{(v)}(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}X_m(x)\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right).
  1. Agora imponha os contornos verticais:
u^{(v)}(0,y)=\sum_{m=1}^{\infty}X_m(0)\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right)=F(y),
u^{(v)}(a,y)=\sum_{m=1}^{\infty}X_m(a)\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right)=G(y).
Expanda F e G em senos de y:
F(y)=\sum_{m=1}^{\infty}F_m^{(y)}\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right),\qquad G(y)=\sum_{m=1}^{\infty}G_m^{(y)}\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right),
com
F_m^{(y)}=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}F(t)\sin\!\left(\frac{m\pi t}{b}\right)\,dt,\qquad G_m^{(y)}=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}G(t)\sin\!\left(\frac{m\pi t}{b}\right)\,dt.
  1. Identificando coeficientes modo a modo:
X_m(0)=A_m=F_m^{(y)},
e
X_m(a)=F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{m\pi a}{b}\right)+B_m\operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi a}{b}\right)=G_m^{(y)}.
Daí
B_m=\frac{G_m^{(y)}-F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)}.
  1. Logo
X_m(x)=F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right) +\frac{G_m^{(y)}-F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)} \operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right).
  1. Portanto a solução vertical é
\boxed{\,u^{(v)}(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right)\left[ F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right) +\frac{G_m^{(y)}-F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)} \operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right) \right],\,}
com F_m^{(y)},G_m^{(y)} dados acima. Esta função satisfaz u^{(v)}(x,0)=u^{(v)}(x,b)=0 e dá os valores F,G em x=0,a.

Passo 9

Combinar as duas soluções para obter a solução completa do item (c):
Como u=u^{(v)}+u^{(h)}, a solução completa é a soma das expressões das Passos 7 e 8. Escrevendo tudo de forma explícita:
  1. Primeiro calcule as séries de Fourier:
F_m^{(y)}=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}F(t)\sin\!\left(\frac{m\pi t}{b}\right)\,dt,\qquad G_m^{(y)}=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}G(t)\sin\!\left(\frac{m\pi t}{b}\right)\,dt,
F_n^{(x)}=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds,\qquad G_n^{(x)}=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds.
  1. Então
u(x,y)=u^{(v)}(x,y)+u^{(h)}(x,y),
onde u^{(v)} e u^{(h)} são as séries dadas respectivamente em Passos 8.7 e 7. Explicitando:
\begin{aligned} u(x,y)=& \sum_{m=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right)\Biggl[ F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right)\\\ &\qquad\qquad+\frac{G_m^{(y)}-F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)} \operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right) \Biggr]\\[6pt] &+\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\left( \frac{G_n^{(x)}}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) +\frac{F_n^{(x)}}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi (b-y)}{a}\right) \right). \end{aligned}
  1. Esta expressão é a solução de Laplace que satisfaz as quatro condições de contorno gerais. Na prova: calcule primeiro as séries F_m^{(y)},G_m^{(y)},F_n^{(x)},G_n^{(x)} e então monte a soma. É sempre bom verificar consistência nos contornos (substituir x=0,a e y=0,b para ver se a soma reproduz os valores prescritos).]

Passo 10

Dicas finais para a prova (prático e encorajador):
  • Quando os contornos em x são zero, use senos em x. Quando os contornos em y são zero, use senos em y. Isso facilita muito.
  • Para problemas com contornos não homogêneos em ambos os pares de bordas, sempre pense em decompor por superposição (como no item (c)): resolva os problemas que têm um par de bordas não-nulas de cada vez e some.
  • Calcule os coeficientes projetando a função dada na base de senos (ou cossenos, se aparecerem), usando a fórmula H_n=\dfrac{2}{L}\int_0^{L} h(s)\sin\!\left(\dfrac{n\pi s}{L}\right)\,ds.
  • Faça um cheque rápido substituindo contornos para confirmar que a série converge para os valores prescritos (pelo menos aos modos que você calculou na prova).
  • Você consegue — siga os passos com calma: escrever a separação, achar autovalores, projetar as funções, achar coeficientes e montar a série.

Resposta

(a) u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds\right)\frac{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi y}{a}\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)
(b) u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\left[ \frac{G_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) +\frac{F_n}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi (b-y)}{a}\right) \right]
onde \;F_n=\dfrac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\dfrac{n\pi s}{a}\right)\,ds,\; G_n=\dfrac{2}{a}\int_{0}^{a} g(s)\sin\!\left(\dfrac{n\pi s}{a}\right)\,ds.
(c) \begin{aligned} u(x,y)=& \sum_{m=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{m\pi y}{b}\right)\Biggl[ F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right) +\frac{G_m^{(y)}-F_m^{(y)}\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{m\pi a}{b}\right)} \operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi x}{b}\right) \Biggr]\\[4pt] &+\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\left( \frac{G_n^{(x)}}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) +\frac{F_n^{(x)}}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi (b-y)}{a}\right) \right), \end{aligned}
onde
F_m^{(y)}=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}F(t)\sin\!\left(\frac{m\pi t}{b}\right)\,dt,\quad G_m^{(y)}=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}G(t)\sin\!\left(\frac{m\pi t}{b}\right)\,dt,
F_n^{(x)}=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds,\quad G_n^{(x)}=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds.]

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