Nos problemas a seguir, use separação de variáveis quando apropriado, identifique os autovalores e autofunções, imponha as condições de contorno/iniciais, e escreva a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
5: Uma corda é esticada e mantida presa no eixo x em \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=\pi para t>0. Se as vibrações transversais ocorrem em um meio que proporcione uma resistência proporcional à velocidade instantânea, então a equação de onda adquire a forma:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}+2 \beta \frac{\partial u}{\partial t}, \quad 0<\beta<1, t>0
Determine o deslocamento u(x, t) considerando que a corda parta do repouso para o deslocamento inicial f(x).

Passo 1

O enunciado fornece a equação de vibração com amortecimento proporcional à velocidade:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}+2\beta\frac{\partial u}{\partial t},\qquad 0<\beta<1,\;0<x<\pi,\;t>0.
Condições de contorno (a corda presa nas extremidades) são
u(0,t)=0,\qquad u(\pi,t)=0\quad\text{para }t>0.
Condições iniciais (a corda parte do repouso com deslocamento inicial f(x)) são
u(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0\quad\text{para }0<x<\pi.
O que se pede: determinar u(x,t) em série (modos) e fornecer explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.

Passo 2

Proponho a separação de variáveis pela forma
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na equação obtém-se
X''(x)T(t)=X(x)T''(t)+2\beta X(x)T'(t).
Dividindo por X(x)T(t) (assumindo funções não nulas) temos
\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T''(t)+2\beta T'(t)}{T(t)}=-\lambda,
onde \lambda é a constante de separação (coloquei o sinal menos por conveniência). Assim obtemos dois problemas ordinários:
X''(x)+\lambda X(x)=0
com condições X(0)=X(\pi)=0, e
T''(t)+2\beta T'(t)+\lambda T(t)=0.

Passo 3

Resolvendo o problema espacial para [\lambda):
  • Se \lambda\le 0 os únicos modos admissíveis com X(0)=X(\pi)=0 são triviais.
  • Para \lambda>0 escrevemos \lambda = \mu^{2} com \mu>0. A solução geral é X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x). As condições X(0)=0 e X(\pi)=0 implicam A=0 e B\sin(\mu\pi)=0. Para solução não trivial precisamos \sin(\mu\pi)=0, logo \mu=n com n\in\mathbb{N}.
Portanto os autovalores espaciais são
\lambda_n = n^{2},\qquad n=1,2,3,\dots,
e as autofunções (modos) são, até constante multiplicativa,
X_n(x)=\sin(nx).
Explicando ortogonalidade (útil para obter coeficientes): as funções \sin(nx) são ortogonais em [0,\pi],
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=\begin{cases} 0,& m\ne n,\\[4pt] \frac{\pi}{2},& m=n. \end{cases}
Dessa integral obtemos a norma \|\sin(nx)\|^{2}=\frac{\pi}{2}\]. Assim, ao expandir uma função \(f(x) em série de senos, os coeficientes são dados por projeção:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
de modo que
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(nx)
(no sentido de série de Fourier senoidal em [0,\pi]).]

Passo 4

Agora resolvemos a equação temporal para cada modo n:
T''(t)+2\beta T'(t)+n^{2}T(t)=0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
r^{2}+2\beta r + n^{2}=0,
cujas raízes são
r = -\beta \pm \sqrt{\beta^{2}-n^{2}}.
Como dado 0<\beta<1 e n\ge 1, temos \beta^{2}-n^{2}<0. Logo as raízes são complexas conjugadas e o regime é subamortecido (os modos oscilam com amortecimento exponencial). Definimos
\omega_n=\sqrt{n^{2}-\beta^{2}}>0,
e a solução geral de T é
T_n(t)=e^{-\beta t}\big(C_n\cos(\omega_n t)+D_n\sin(\omega_n t)\big),
onde C_n,D_n são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

A solução completa é combinação linear dos modos espaciais com os temporais:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(nx)\,T_n(t) =\sum_{n=1}^{\infty}\sin(nx)\,e^{-\beta t}\big(C_n\cos(\omega_n t)+D_n\sin(\omega_n t)\big).
Impondo a condição inicial de deslocamento u(x,0)=f(x) temos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(nx)\,C_n = f(x).
Comparando com a expansão de f em senos, obtemos
C_n=a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(s)\sin(ns)\,ds.
Agora impondo a condição de repouso u_t(x,0)=0: calcule u_t. Diferenciando temporalmente,
\begin{aligned} u_t(x,t)&=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(nx)\,\frac{d}{dt}\Big[e^{-\beta t}\big(C_n\cos(\omega_n t)+D_n\sin(\omega_n t)\big)\Big]\\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(nx)\,e^{-\beta t}\big(-\beta C_n\cos(\omega_n t)-C_n\omega_n\sin(\omega_n t)-\beta D_n\sin(\omega_n t)+D_n\omega_n\cos(\omega_n t)\big). \end{aligned}
Em t=0 isso fica
u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(nx)\,(-\beta C_n + D_n\omega_n).
Como u_t(x,0)=0 para todo x, pelas propriedades de ortogonalidade dos senos cada coeficiente da série deve ser zero:
-\beta C_n + D_n\omega_n=0 \quad\Rightarrow\quad D_n=\frac{\beta}{\omega_n}C_n.
Usando C_n=a_n obtemos
D_n=\frac{\beta}{\omega_n}a_n.

Passo 6

Substituindo C_n e D_n na série obtemos a solução final, escrita modo a modo:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,e^{-\beta t}\Big(\cos(\omega_n t)+\frac{\beta}{\omega_n}\sin(\omega_n t)\Big)\sin(nx),
onde
\omega_n=\sqrt{n^{2}-\beta^{2}},\qquad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(s)\sin(ns)\,ds.
Esta série satisfaz as condições de contorno, a equação diferencial e as condições iniciais u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=0. Intuitivamente cada modo \sin(nx) oscila com frequência diminuída \omega_n e é multiplicado por um amortecimento exponencial e^{-\beta t}; o termo \frac{\beta}{\omega_n}\sin(\omega_n t) ajusta a derivada inicial para garantir repouso inicial.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(s)\sin(ns)\,ds\right)e^{-\beta t}\Big(\cos(\sqrt{n^{2}-\beta^{2}}\,t)+\frac{\beta}{\sqrt{n^{2}-\beta^{2}}}\sin(\sqrt{n^{2}-\beta^{2}}\,t)\Big)\sin(nx)

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