Nos problemas a seguir, use separação de variáveis quando apropriado, identifique os autovalores e autofunções, imponha as condições de contorno/iniciais, e escreva a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
5: Uma corda é esticada e mantida presa no eixo x em
e
para
. Se as vibrações transversais ocorrem em um meio que proporcione uma resistência proporcional à velocidade instantânea, então a equação de onda adquire a forma:
Determine o deslocamento
considerando que a corda parta do repouso para o deslocamento inicial
.
5: Uma corda é esticada e mantida presa no eixo x em
Passo 1
O enunciado fornece a equação de vibração com amortecimento proporcional à velocidade:
Condições de contorno (a corda presa nas extremidades) são
Condições iniciais (a corda parte do repouso com deslocamento inicial
) são
O que se pede: determinar
em série (modos) e fornecer explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
Passo 2
Proponho a separação de variáveis pela forma
Substituindo na equação obtém-se
Dividindo por
(assumindo funções não nulas) temos
onde
é a constante de separação (coloquei o sinal menos por conveniência). Assim obtemos dois problemas ordinários:
com condições
, e
Passo 3
Resolvendo o problema espacial para [\lambda):
- Se
os únicos modos admissíveis com são triviais. - Para
escrevemos com . A solução geral é . As condições e implicam e . Para solução não trivial precisamos , logo com .
Portanto os autovalores espaciais são
e as autofunções (modos) são, até constante multiplicativa,
Explicando ortogonalidade (útil para obter coeficientes): as funções
são ortogonais em
,
Dessa integral obtemos a norma
em série de senos, os coeficientes são dados por projeção:
de modo que
(no sentido de série de Fourier senoidal em
).]
Passo 4
Agora resolvemos a equação temporal para cada modo
:
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
cujas raízes são
Como dado
e
, temos
. Logo as raízes são complexas conjugadas e o regime é subamortecido (os modos oscilam com amortecimento exponencial). Definimos
e a solução geral de
é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
A solução completa é combinação linear dos modos espaciais com os temporais:
Impondo a condição inicial de deslocamento
temos
Comparando com a expansão de
em senos, obtemos
Agora impondo a condição de repouso
: calcule
. Diferenciando temporalmente,
Em
isso fica
Como
para todo
, pelas propriedades de ortogonalidade dos senos cada coeficiente da série deve ser zero:
Usando
obtemos
Passo 6
Substituindo
e
na série obtemos a solução final, escrita modo a modo:
onde
Esta série satisfaz as condições de contorno, a equação diferencial e as condições iniciais
,
. Intuitivamente cada modo
oscila com frequência diminuída
e é multiplicado por um amortecimento exponencial
; o termo
ajusta a derivada inicial para garantir repouso inicial.