Nos problemas a seguir, use separação de variáveis quando apropriado, identifique os autovalores e autofunções, imponha as condições de contorno/iniciais, e escreva a solução como série (seno/cosseno ou exponenciais), indicando explicitamente os coeficientes via ortogonalidade.
4: Resolva a equação de onda sujeita às condições indicadas.
Estas condições fixam as duas extremidades da corda (a figura fornecida mostra exatamente isso: x=0 e x=L). Eu usei essa informação da figura/diagrama.\n
O objetivo: resolver por separação de variáveis (quando apropriado), identificar autovalores/autofunções, impor as condições iniciais e escrever a solução como série em funções seno/cosseno, indicando explicitamente os coeficientes usando ortogonalidade.
Passo 2
Separação de variáveis e problema de autovalores (parte espacial).\n
Procuramos soluções do tipo u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na PDE e separando,
Escrevendo as soluções com a seleção apenas dos modos ímpares (forma frequentemente mais enxuta).\n
Se escrevermos apenas os índices ímpares n=2m-1 (pois os pares são nulos), podemos reescrever as séries somando em m=1,2,3,\dots. Mas a forma anterior já deixa explícito que somente os termos com n ímpar contribuem, o que é um bom atalho para cálculos práticos.