Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método de frações parciais. Aqui o conteúdo é decompor a função racional em termos mais simples (monômios em
e fatores
) e depois integrar cada parte.
Passo 2
Vamos escrever a decomposição em frações parciais no formato
Multiplicamos pelos fatores do denominador comum
, obtendo a identidade de polinômios
Expandimos cada termo para coletar coeficientes de
.
Passo 3
Ao expandir e igualar coeficientes de
, obtemos o sistema
Dessa forma encontra-se
Logo a decomposição fica
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
-
integral 1x,dx = lnlvert xrvert -
integral -2x^2,dx = -2integral x^-2dx = -2l(-x^-1r)=2x -
.integral 4(x^2+1)^2,dx = 4integral dx(x^2+1)^2
Mas há a fórmula padrão Multiplicando por 4 dáintegral dx(x^2+1)^2 = x2(x^2+1) + 12arctan x + C 4integral dx(x^2+1)^2 = 2,xx^2+1 + 2arctan x
Passo 5
Juntando tudo, a primitiva é