Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
integral x^5-2 x^4+2 x^3+x-2x^2(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^5-2x^4+2x^3+x-2x^2(x^2+1)^2,dx
usando o método de frações parciais. Aqui o conteúdo é decompor a função racional em termos mais simples (monômios em x e fatores x^2+1) e depois integrar cada parte.

Passo 2

Vamos escrever a decomposição em frações parciais no formato
x^5-2x^4+2x^3+x-2x^2(x^2+1)^2 = Ax + Bx^2 + Cx+Dx^2+1 + Ex+F(x^2+1)^2
Multiplicamos pelos fatores do denominador comum x^2(x^2+1)^2, obtendo a identidade de polinômios
x^5-2x^4+2x^3+x-2 = A,x,(x^2+1)^2 + B,(x^2+1)^2 + (Cx+D),x^2(x^2+1) + (Ex+F),x^2
Expandimos cada termo para coletar coeficientes de x^k.

Passo 3

Ao expandir e igualar coeficientes de x^5,x^4,dots,x^0, obtemos o sistema
A + C = 1, B + D = -2, 2A + C + E = 2, 2B + D + F = 0, A = 1, B = -2
Dessa forma encontra-se
A=1, B=-2, C=0, D=0, E=0, F=4
Logo a decomposição fica
x^5-2x^4+2x^3+x-2x^2(x^2+1)^2 = 1x - 2x^2 + 4(x^2+1)^2

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  1. integral 1x,dx = lnlvert xrvert
  2. integral -2x^2,dx = -2integral x^-2dx = -2l(-x^-1r)=2x
  3. integral 4(x^2+1)^2,dx = 4integral dx(x^2+1)^2.
    Mas há a fórmula padrão integral dx(x^2+1)^2 = x2(x^2+1) + 12arctan x + C Multiplicando por 4 dá 4integral dx(x^2+1)^2 = 2,xx^2+1 + 2arctan x

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva é
lnlvert xrvert + 2x + 2,xx^2+1 + 2arctan x + C

Resposta

boxedintegral x^5-2x^4+2x^3+x-2x^2(x^2+1)^2,dx = lnlvert xrvert + 2x + 2xx^2+1 + 2arctan x + C

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