-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Resolva a equaçâo diferencial
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x ln x
Boa Proval!!
UFPI

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = e^-xln x
O conteúdo da matéria é solução geral de equações lineares não homogêneas: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvemos a parte homogênea
y'' - 2y' + y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow; (r-1)^2 = 0 ;Longrightarrow; r=1 (dupla)
Logo a solução geral homogênea é
yh = l(C1 + C2,xr)e^x

Passo 3

Para achar uma solução particular usamos variação de parâmetros com as duas soluções independentes
O wronskiano é
As fórmulas de variação de parâmetros dão
onde .

Passo 4

Calculemos os dois integrais
I1 = integral y2,gW,dx = integral x,e^x;e^-xln xe^2x,dx = integral x,ln x,e^-2x,dx,
I2 = integral y1,gW,dx = integral e^x;e^-xln xe^2x,dx = integral ln x,e^-2x,dx
Usando integração por partes em cada um (dejando a parte integral e^-2x/x,dx como integral exponencial), obtemos após simplificar:
I1 = -tfrac14e^-2x(2x+1)ln x - tfrac14e^-2x + tfrac14integrale^-2xx,dx,
I2 = -tfrac12e^-2xln x + tfrac12integrale^-2xx,dx

Passo 5

Agora montamos
yp = -y1,I1 + y2,I2
Substituindo y1=e^x, y2=xe^x e os I1,I2 acima e simplificando, chega-se a
yp = 14e^-xln x + 14e^-x + 14(2x-1)e^x,Ei(-2x),
onde Ei(-2x)=integral-infty^-2xe^tt,dt.

Resposta

A solução geral da equação é
boxedy(x) = l(C1 + C2,xr)e^x + 14e^-xl(ln x + 1r) + 14(2x-1)e^x,Ei(-2x),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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