-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
Resolva a equaçâo diferencial
Boa Proval!!
UFPI
Resolva a equaçâo diferencial
UFPI
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo da matéria é solução geral de equações lineares não homogêneas: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.
Passo 2
Resolvemos a parte homogênea
O polinômio característico é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
usamos variação de parâmetros com as duas soluções independentes
O wronskiano é
As fórmulas de variação de parâmetros dão
onde
.
Passo 4
Calculemos os dois integrais
Usando integração por partes em cada um (dejando a parte
como integral exponencial), obtemos após simplificar:
Passo 5
Agora montamos
Substituindo
,
e os
acima e simplificando, chega-se a
onde
.
Resposta
A solução geral da equação é
com
constantes arbitrárias.