Para os problemas a seguir, utilize o método de integração por expansão em frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo aqui envolve integração por frações parciais, que é uma técnica usada para decompor frações racionais complexas em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para resolver, vamos precisar identificar os fatores do denominador e determinar como decompor a fração de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador
. Notamos que temos dois fatores distintos:
-
que é linear. -
que é um quadrado de um polinômio de segundo grau.
Para fazer a decomposição em frações parciais, precisamos considerar cada fator e suas potências.
Passo 3
A regra geral para a decomposição é:
Aqui,
e
. Escolhemos termos com numeradores de grau menor que o denominador correspondente.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e coletamos os termos semelhantes para identificar
,
,
,
e
.
Passo 5
Para simplificar, vamos escolher valores específicos de
que facilitam a resolução das constantes:
- Quando
:
- Derivando outras condições ou escolhendo outros valores de
não simplifica de maneira direta, então vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação.
Expandindo o lado direito:
Coletando termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
-
:
Já sabemos que, então não há no lado esquerdo, indicando que a equação está balanceada. -
:
Substituindo:
-
:
Substituindoe :
-
:
Substituindoe :
- Termo constante:
Já confirmamos que.
Passo 6
Temos agora duas equações com
e
:
Precisamos de mais uma equação para resolver todas as incógnitas. Observando que não temos mais termos, podemos assumir que
, simplificando a resolução:
- Se
, então . - Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos todas as constantes:
A decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
-
-
Para integrar esse termo, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Dividindo e integrando:
-
Utilizamos substituição
, então . No entanto, a integral resultará em uma combinação de funções racionais e arctangentes.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.