Problemas de Termodinâmica

Um gás ideal diatômico ( y=1.4 ) está contido em um cilindro com um pistão móvel. O gás passa pelo seguinte processo de três etapas: (1) compressão isotérmica: o gás é comprimido de um estado inicial P1=100 kPa, V1=0.5 m^3 e T1=400 K para um volume final V2=0.2 m^3. (2) expansão adiabática: o gás então se expande adiabaticamente de volta ao seu volume original ( V3= 0.5 m^3 ). (3) resfriamento isocórico: finalmente, o gás é resfriado a volume constante até sua temperatura inicial ( T3=T1 ).
(a) Calcule Q, W e De para cada etapa do processo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um gás ideal diatômico com uma certa relação de calores específicos ( gamma = 1.4) dentro de um cilindro com um pistão que pode se mover. Esse gás passa por três etapas diferentes:
  1. Compressão isotérmica: Aqui, o gás é comprimido mantendo a temperatura constante.
  2. Expansão adiabática: O gás se expande sem troca de calor com o ambiente.
  3. Resfriamento isocórico: O gás é resfriado mantendo o volume constante.
A gente precisa calcular três coisas para cada etapa: o calor Q, o trabalho W e a variação da energia interna De. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da termodinâmica e ver direitinho como cada processo funciona.

Passo 2

Etapa 1: Compressão Isotérmica
Primeiro, vamos tratar da compressão isotérmica. Nessa etapa, a temperatura do gás permanece constante, ou seja, De (porque a energia interna só depende da temperatura).
Vamos calcular o trabalho W feito na compressão. A fórmula para trabalho em um processo isotérmico é:
W = nRT ln(V2V1)
Onde:
  • n é o número de mols
  • R é a constante dos gases (aproximadamente 8.314 , J/(mol cdot K))
  • T é a temperatura
  • V1 e V2 são os volumes inicial e final
Primeiro, precisamos encontrar n. Sabemos que:
P1 V1 = n R T1
Rearranjando para n:
n = P1 V1R T1
Substituindo os valores:
n = 100 times 10^3 , Pa times 0.5 , m^38.314 , J/(mol cdot K) times 400 , K approx 15.05 , mol
Agora, calculando W:
W = 15.05 , mol times 8.314 , J/(mol cdot K) times 400 , K times ln(0.20.5)
W approx 15.05 times 8.314 times 400 times ln(0.4) approx -15.05 times 8.314 times 400 times (-0.9163) approx 45800 , J
O trabalho é positivo porque o gás está sendo comprimido.
Como De, o calor Q também é igual ao trabalho:
Q = W = 45800 , J

Passo 3

Etapa 2: Expansão Adiabática
Agora, vamos para a expansão adiabática. Nesse caso, não troca de calor com o ambiente, então Q = 0. A variação da energia interna é igual ao trabalho:
De
Para processos adiabáticos, usamos a relação:
T2 V2^gamma - 1 = T3 V3^gamma - 1
Como o gás volta ao volume inicial V3 = V1, podemos encontrar a nova temperatura T3:
T3 = T2 (V2V3)^gamma - 1
Sabemos que, na compressão isotérmica, a temperatura permaneceu T1 = 400 , K. Então:
T3 = 400 times (0.20.5)^0.4 approx 400 times (0.4)^0.4 approx 400 times 0.5743 approx 229.7 , K
Agora, a variação da energia interna:
De
Onde Cv para um gás diatômico é:
Cv = Rgamma - 1 = 8.3140.4 approx 20.785 , J/(mol cdot K)
Então:
De
E como De, então:
W = 53400 , J

Passo 4

Etapa 3: Resfriamento Isocórico
Por fim, vamos para o resfriamento isocórico, ou seja, a pressão e o volume permanecem constantes. Nesse processo, não há trabalho realizado porque o volume não muda:
W = 0
A variação da energia interna é dada por:
De
Usamos a fórmula:
De
Como o gás retorna à temperatura inicial T1 = 400 , K, a variação de temperatura é:
De
Então:
De
Como De:
Q = 53400 , J

Resposta

Resumindo cada etapa:
  1. Compressão Isotérmica
    • Q = 45800 , J
    • W = 45800 , J
    • De
  2. Expansão Adiabática
    • Q = 0 , J
    • W = 53400 , J
    • De
  3. Resfriamento Isocórico
    • Q = 53400 , J
    • W = 0 , J
    • De

Exercícios relacionados