Problemas de Termodinâmica
Um gás ideal diatômico (
) está contido em um cilindro com um pistão móvel. O gás passa pelo seguinte processo de três etapas: (1) compressão isotérmica: o gás é comprimido de um estado inicial
e
para um volume final
. (2) expansão adiabática: o gás então se expande adiabaticamente de volta ao seu volume original (
). (3) resfriamento isocórico: finalmente, o gás é resfriado a volume constante até sua temperatura inicial (
).
(a) Calcule Q, W e
para cada etapa do processo.
(a) Calcule Q, W e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um gás ideal diatômico com uma certa relação de calores específicos (
) dentro de um cilindro com um pistão que pode se mover. Esse gás passa por três etapas diferentes:
- Compressão isotérmica: Aqui, o gás é comprimido mantendo a temperatura constante.
- Expansão adiabática: O gás se expande sem troca de calor com o ambiente.
- Resfriamento isocórico: O gás é resfriado mantendo o volume constante.
A gente precisa calcular três coisas para cada etapa: o calor
, o trabalho
e a variação da energia interna
. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da termodinâmica e ver direitinho como cada processo funciona.
Passo 2
Etapa 1: Compressão Isotérmica
Primeiro, vamos tratar da compressão isotérmica. Nessa etapa, a temperatura do gás permanece constante, ou seja,
(porque a energia interna só depende da temperatura).
Vamos calcular o trabalho
feito na compressão. A fórmula para trabalho em um processo isotérmico é:
Onde:
-
é o número de mols -
é a constante dos gases (aproximadamente ) -
é a temperatura -
e são os volumes inicial e final
Primeiro, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
Agora, calculando
:
O trabalho é positivo porque o gás está sendo comprimido.
Como
, o calor
também é igual ao trabalho:
Passo 3
Etapa 2: Expansão Adiabática
Agora, vamos para a expansão adiabática. Nesse caso, não troca de calor com o ambiente, então
. A variação da energia interna é igual ao trabalho:
Para processos adiabáticos, usamos a relação:
Como o gás volta ao volume inicial
, podemos encontrar a nova temperatura
:
Sabemos que, na compressão isotérmica, a temperatura permaneceu
. Então:
Agora, a variação da energia interna:
Onde
para um gás diatômico é:
Então:
E como
, então:
Passo 4
Etapa 3: Resfriamento Isocórico
Por fim, vamos para o resfriamento isocórico, ou seja, a pressão e o volume permanecem constantes. Nesse processo, não há trabalho realizado porque o volume não muda:
A variação da energia interna é dada por:
Usamos a fórmula:
Como o gás retorna à temperatura inicial
, a variação de temperatura é:
Então:
Como
:
Resposta
Resumindo cada etapa:
-
Compressão Isotérmica
-
-
Expansão Adiabática
-
-
Resfriamento Isocórico
-