In each of Problems 24 through 26 find the Laplace transform Y(s)=\mathcal{L}{y} of the solution of the given initial value problem. A method of determining the inverse transform is developed in Section 6.3. y^{\prime \prime}+4 y=\left\{\begin{array}{rl}t, & 0 \leq t<1, \\\\ 1, & 1 \leq t<\infty ;\end{array} \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.
Passo 1
Vou deixar clarinho o que o enunciado dá e o que pede.
Enunciado: temos o problema de valor inicial
y''+4y=f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0,
onde f(t)\) é a função por partes
\[f(t)=\begin{cases} t, & 0\le t<1,\\[4pt] 1, & 1\le t<\infty. \end{cases}
O pedido: determinar a transformada de Laplace Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\] da solução \(y(t).
Informações relevantes (listadas):
Condições iniciais: y(0)=0, y'(0)=0.
O termo forçante é por partes; isso sugere usar a função degrau unitário u(t-1) para escrever f(t) de forma adequada e aplicar a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.
Fórmula útil das derivadas: \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).]
Passo 2
Escrever f(t) usando o degrau unitário u(t-1). Uma forma conveniente é:
f(t)=t\big(1-u(t-1)\big)+1\cdot u(t-1).
Desenvolvendo:
f(t)=t - t\,u(t-1) + u(t-1).
Agrupando os termos com u(t-1):
f(t)=t + u(t-1)\,(1-t).
Observação útil (para simplificar a transformada): note que 1-t=-(t-1). Assim
f(t)=t - u(t-1)\,(t-1).
Passo 3
Lembrar e aplicar as transformadas necessárias:
Transformada de t:
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.
Teorema do deslocamento com degrau: se g(t) é uma função de t e definimos G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
No nosso caso queremos transformar u(t-1)\,(t-1). Tomando g(\tau)=\tau (onde \tau=t-1), tem-se
Isolar Y(s). Dividindo ambos os lados por s^{2}+4,
Y(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^{2}(s^{2}+4)}.
Esta é a transformada de Laplace da solução y(t). Se for preciso obter y(t) no tempo, procede-se por frações parciais e uso do teorema do deslocamento inverso (mas o enunciado aqui pediu apenas Y(s)).