In each of Problems 24 through 26 find the Laplace transform Y(s)=\mathcal{L}{y} of the solution of the given initial value problem. A method of determining the inverse transform is developed in Section 6.3.
y^{\prime \prime}+4 y=\left\{\begin{array}{rl}t, & 0 \leq t<1, \\\\ 1, & 1 \leq t<\infty ;\end{array} \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: temos o problema de valor inicial
y''+4y=f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0,
onde f(t)\) é a função por partes \[f(t)=\begin{cases} t, & 0\le t<1,\\[4pt] 1, & 1\le t<\infty. \end{cases}
  • O pedido: determinar a transformada de Laplace Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\] da solução \(y(t).
Informações relevantes (listadas):
  • Condições iniciais: y(0)=0, y'(0)=0.
  • O termo forçante é por partes; isso sugere usar a função degrau unitário u(t-1) para escrever f(t) de forma adequada e aplicar a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.
  • Fórmula útil das derivadas: \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).]

Passo 2

Escrever f(t) usando o degrau unitário u(t-1). Uma forma conveniente é:
f(t)=t\big(1-u(t-1)\big)+1\cdot u(t-1).
Desenvolvendo:
f(t)=t - t\,u(t-1) + u(t-1).
Agrupando os termos com u(t-1):
f(t)=t + u(t-1)\,(1-t).
Observação útil (para simplificar a transformada): note que 1-t=-(t-1). Assim
f(t)=t - u(t-1)\,(t-1).

Passo 3

Lembrar e aplicar as transformadas necessárias:
  • Transformada de t:
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.
  • Teorema do deslocamento com degrau: se g(t) é uma função de t e definimos G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
No nosso caso queremos transformar u(t-1)\,(t-1). Tomando g(\tau)=\tau (onde \tau=t-1), tem-se
\mathcal{L}\{u(t-1)\,(t-1)\}=e^{-s}\,\mathcal{L}\{\tau\}=e^{-s}\cdot\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Calcular a transformada de f(t) usando os resultados acima. Como
f(t)=t - u(t-1)\,(t-1),
temos
\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{t\}-\mathcal{L}\{u(t-1)\,(t-1)\} =\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s^{2}} =\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 5

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial. Tomando transformada em ambos os lados de
y''+4y=f(t)
e usando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}= \mathcal{L}\{f(t)\}
ou seja
(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)) + 4Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para
(s^{2}+4)\,Y(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 6

Isolar Y(s). Dividindo ambos os lados por s^{2}+4,
Y(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^{2}(s^{2}+4)}.
Esta é a transformada de Laplace da solução y(t). Se for preciso obter y(t) no tempo, procede-se por frações parciais e uso do teorema do deslocamento inverso (mas o enunciado aqui pediu apenas Y(s)).

Resposta

Y(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^{2}(s^{2}+4)}

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