Em processadores modernos com tecnologia FinFET, a resistência térmica entre a junção do transistor e o dissipador é modelada por:
R(w, h)=\frac{6}{w h+w+h}
onde w é a largura normalizada do fin, h é a altura normalizada do fin e R está em K/W. Para o ponto de operação nominal: w_{0}=2 e h_{0}=3.
a) Calcule R\left(w_{0}, h_{0}\right) e as derivadas parciais R_{w}(w, h) e R_{h}(w, h).
b) Justifique que R é diferenciável em \left(w_{0}, h_{0}\right).
c) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de R em \left(w_{0}, h_{0}\right).
d) Se as tolerâncias de fabricação causam variações |\Delta w| \leq 0,1 e |\Delta h| \leq 0,2, estime a variação máxima na resistência térmica usando a aproximação por diferencial.
e) Qual parâmetro é mais crítico para o controle térmico? Justifique comparando as sensibilidades relativas \left|\frac{w_{0}}{R\left(w_{0}, h_{0}\right)} \cdot R_{w}\left(w_{0}, h_{0}\right)\right| e \left|\frac{h_{0}}{R\left(w_{0}, h_{0}\right)} \cdot R_{h}\left(w_{0}, h_{0}\right)\right|.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):
Função dada:
R(w,h)=\frac{6}{w h + w + h}.
Ponto de operação nominal: \;w_{0}=2, \;h_{0}=3.
Perguntas:
a) Calcular R(w_{0},h_{0}) e as derivadas parciais R_{w}(w,h) e R_{h}(w,h).
b) Justificar que R é diferenciável em (w_{0},h_{0}).
c) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de R em (w_{0},h_{0}).
d) Com tolerâncias |\Delta w|\le 0,1 e |\Delta h|\le 0,2, estimar a variação máxima em R usando a aproximação por diferencial.
e) Dizer qual parâmetro (w ou h) é mais crítico comparando as sensibilidades relativas \left|\dfrac{w_{0}}{R(w_{0},h_{0})}R_{w}(w_{0},h_{0})\right| e \left|\dfrac{h_{0}}{R(w_{0},h_{0})}R_{h}(w_{0},h_{0})\right|.
Passo 2
Cálculo de R(w_{0},h_{0}).
Primeiro calculamos o denominador em (w_{0},h_{0}):
D(w,h)=w h + w + h.
Em (2,3):
D(2,3)=2\cdot 3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11.
Então
R(2,3)=\frac{6}{11}.
Explicação didática rápida: basta substituir w=2 e h=3 na expressão e simplificar a fração.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais R_{w} e R_{h} (derivada em relação a uma variável mantendo a outra fixa) — passo a passo e explicação.
Escrevemos R(w,h)=6\cdot D(w,h)^{-1} com D(w,h)=w h + w + h.
Regra usada: a derivada de u^{-1} é -u^{-2}u'. Aqui u=D(w,h).
Derivada parcial em relação a w: calcular \partial D/\partial w.
\frac{\partial D}{\partial w}=h+1,
pois D=w h + w + h e, ao derivar com respeito a w, tratamos h como constante.
Aplicando a regra da cadeia:
R_{w}(w,h) = 6\cdot (-1) D(w,h)^{-2} \cdot (h+1) = -\frac{6(h+1)}{(w h + w + h)^{2}}.
Analogamente, para \partial D/\partial h:
\frac{\partial D}{\partial h}=w+1,
então
R_{h}(w,h) = -\frac{6(w+1)}{(w h + w + h)^{2}}.
Interpretação didática: R_{w} indica quanto R muda por unidade de mudança em w mantendo h fixo; R_{h} faz o mesmo para h.
Passo 4
Avaliação numérica das derivadas parciais em (w_{0},h_{0})=(2,3).
Valores decimais (para intuição): \;R_{w}(2,3)\approx -0,19835 e \;R_{h}(2,3)\approx -0,14876.
Mostrei cada multiplicação e a razão para o quadrado do denominador: vem da derivação de D^{-1}.
Passo 5
Justificativa de diferenciabilidade de R em (2,3).
Observação: R(w,h) é uma função racional (quociente de polinômios) com denominador D(w,h)=w h + w + h.
Em pontos onde D(w,h)\neq 0, a função racional é diferenciável (na verdade C^{\infty}) porque numerador e denominador são polinômios e a divisão por uma função não-nula preserva diferenciabilidade localmente.
Em (2,3) temos D(2,3)=11\neq 0, portanto R é diferenciável em (2,3).
Outro argumento prático: as derivadas parciais existem e são funções contínuas num entorno de (2,3), o que garante diferenciabilidade nesse ponto.
Passo 6
Equação do plano tangente ao gráfico de R em (2,3).
Fórmula do plano tangente a z=R(w,h) no ponto (w_{0},h_{0},R_{0}):
Interpretação: pela aproximação linear, a resistência térmica pode mudar até aproximadamente 0,0496 K/W devido às tolerâncias dadas.
Passo 8
Comparação das sensibilidades relativas e conclusão sobre qual parâmetro é mais crítico.
Definição e interpretação: a sensibilidade relativa de uma variável x é aproximadamente \left|\dfrac{x_{0}}{R_{0}} \cdot R_{x}(x_{0},y_{0})\right|. Ela indica a fração de variação percentual em R para uma variação percentual em x.
Conclusão: o parâmetro \,h (altura do fin) é mais crítico para o controle térmico, porque uma mesma variação percentual em h provoca uma variação percentual maior em R do que a mesma variação percentual em w. Em termos práticos, é mais importante controlar a tolerância em h.
Resposta
a) R(2,3)=\dfrac{6}{11}. \;R_{w}(w,h)=-\dfrac{6(h+1)}{(w h + w + h)^{2}},\;R_{h}(w,h)=-\dfrac{6(w+1)}{(w h + w + h)^{2}}. Em (2,3): R_{w}(2,3)=-\dfrac{24}{121},\;R_{h}(2,3)=-\dfrac{18}{121}.
b) R é diferenciável em (2,3) porque é uma função racional com denominador w h + w + h\neq 0 em (2,3); as derivadas parciais existem e são contínuas ali.
c) Plano tangente: T(w,h)=\dfrac{6}{11} - \dfrac{24}{121}(w-2) - \dfrac{18}{121}(h-3).
d) Estimativa da variação máxima: |\Delta R|_{\max}\approx \dfrac{6}{121}\approx 0,0495868\\ \text{K/W}.
e) S_{w}=\dfrac{88}{121}\approx 0,72727,\;S_{h}=\dfrac{99}{121}\approx 0,81818. Portanto h é mais crítico (sensibilidade relativa maior).