No processamento de salsicha é necessário determinar a temperatura no centro desse produto quando o mesmo é submetido a um tempo de aquecimento. A salsicha pode ser considerada um cilindro de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro e está inicialmente a 21^{\circ} \mathrm{C}. O aquecimento desse produto será feito em autoclave, que é mantida a 116^{\circ} \mathrm{C}. A) Calcular a temperatura no centro de uma salsicha após 2 horas de aquecimento. Dados: \mathrm{h}=1200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{C}; propriedades térmicas da salsicha: densidade =1070 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}=3,35 \mathrm{KJ} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{k}=0,48 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}.
B) É razoável considerar a salsicha como um cilindro infinito no equacionamento desse problema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Calcular a temperatura no centro da salsicha (centro radial) após 2 horas de aquecimento em uma autoclave mantida a 116^\circ\mathrm{C}.
  2. Dizer se é razoável considerar a salsicha como um cilindro infinito no modelo.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não perder nada):
\begin{aligned} &\text{Geometria: comprimento } L=0{,}30\\ \mathrm{m},\\ \text{diâmetro } D=0{,}10\\ \mathrm{m}\Rightarrow r_0=\frac{D}{2}=0{,}05\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Temperaturas: } T_i=21^\circ\mathrm{C}\\ (\text{inicial}),\\ T_\infty=116^\circ\mathrm{C}\\ (\text{autoclave}).\\\ &\text{Tempo: } t=2\\ \mathrm{h}=7200\\ \mathrm{s}.\\\ &\text{Convecção: } h=1200\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}.\\\ &\text{Propriedades da salsicha: } \rho=1070\\ \mathrm{kg/m^3},\\ c=3{,}35\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)}=3350\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)},\\ k=0{,}48\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}. \end{aligned}âçã
Observação: a pergunta A é de condução transiente no radial de um cilindro com convecção na superfície. No passo seguinte vou decidir o método com base nesses dados (nº de Biot, comparações de escalas, etc.). Não resolvo nada ainda aqui.

Passo 2

Vamos calcular grandezas térmicas básicas que nos dizem que método usar.
  1. difusividade térmica \alpha:
\alpha=\frac{k}{\rho c}=\frac{0{,}48}{1070\cdot 3350}\\ \mathrm{m^2/s}.
Faço a conta passo a passo:
1070\cdot 3350=3\,584\,500,
\alpha=\frac{0{,}48}{3\,584\,500}\approx 1{,}339\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
  1. número de Biot para a geometria cilíndrica (usado para avaliar o regime de superfície). Para problemas radiais de cilindro costuma-se usar a forma
\mathrm{Bi}=\frac{h r_0}{k}.
Calculo:
\mathrm{Bi}=\frac{1200\cdot 0{,}05}{0{,}48}=\frac{60}{0{,}48}=125.
Esse valor é grande ( \mathrm{Bi}\gg 0{,}1), o que indica que há resistência térmica interna significativa e que o modelo de “capacitação uniforme” (método do corpo adiabático ou lumped capacitance) NÃO é válido.
  1. número de Fourier (caracteriza o tempo adimensional):
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{r_0^2}=\frac{1{,}339\times 10^{-7}\cdot 7200}{(0{,}05)^2}.
Faço a conta:
\alpha t=1{,}339\times 10^{-7}\cdot 7200\approx 9{,}642\times 10^{-4},
r_0^2=0{,}05^2=0{,}0025,
\mathrm{Fo}=\frac{9{,}642\times 10^{-4}}{0{,}0025}\approx 0{,}3857\\ (\approx 0{,}386).
Resumo deste passo: \alpha\approx 1{,}339\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}, \mathrm{Bi}=125 (muito grande), \mathrm{Fo}\approx 0{,}386. Conclusão: não podemos usar o modelo lumped; precisamos de uma solução de condução transiente radial. Como \mathrm{Bi} é muito grande, a superfície da salsicha tende a ficar próxima da temperatura do banho (autoclave) relativamente rápido, então uma aproximação útil é tratar a superfície como temperatura imposta T(R,t)\approx T_\infty (condição de contorno de Dirichlet) e usar a solução de um cilindro longo (radial) com superfície mantida em T_\infty. Essa é uma aproximação padrão quando \mathrm{Bi} é grande — vou usar a aproximação de primeiro termo da série para o cilindro com superfície constante para obter uma estimativa prática e rápida (método compatível com exames práticos). Vou explicar a fórmula e aplicá-la numericamente.

Passo 3

Teoria simplificada (explicada devagar): solução transiente para um cilindro de raio r_0 cuja superfície é mantida em temperatura T_\infty (caso limite de convecção muito forte). Definimos a temperatura adimensional
\theta(r,t)=\frac{T(r,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty},
assim inicialmente \theta(r,0)=1 e na superfície \theta(r_0,t)=0.
A solução analítica com separação de variáveis dá uma série com autovalores \zeta_n (raízes de J_0(\zeta)=0, onde J_0 é a função de Bessel de ordem zero) e termos decaindo exponencialmente \exp(-\zeta_n^2\,\mathrm{Fo}). Para o centro ( r=0) a forma da série é
\theta(0,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \exp\big(-\zeta_n^2\,\mathrm{Fo}\big).
Na prática, para tempos moderados a grandes o primeiro termo domina e usamos a aproximação de primeiro autovalor ( n=1) — isso é chamado de aproximação de “primeiro termo” e é frequentemente aceitável quando se quer uma resposta rápida e razoavelmente precisa. Para o caso de superfície mantida em T_\infty o primeiro autovalor é
\zeta_1\approx 2{,}404825\quad(\text{primeira raiz de }J_0).
Uma forma prática usada em tabelas/quadros (Heisler / séries) e adotada aqui é aproximar
\theta(0,t)\approx \frac{4}{\zeta_1^2}\exp\big(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}\big).
Observações didáticas sobre essa aproximação:
  • O fator \dfrac{4}{\zeta_1^2} é um coeficiente que representa a contribuição do primeiro modo para a condição inicial uniforme; seu valor numérico é menor que 1 e garante que \theta(0,0) aproximado seja razoável (o somatório completo daria exatamente 1).
  • Essa aproximação é prática para estimativas e é consistente com formas tabuladas de soluções unidimensionais em coordenadas cilíndricas para o caso de superfície mantida. Como \mathrm{Bi} é grande, tomamos a condição de contorno como T(r_0,t)=T_\infty.
  • Se fosse necessário altíssima precisão (erro < alguns %), usaríamos duas ou mais termos da série ou solução numérica; para provas e estimativas de engenharia, o primeiro termo costuma ser suficiente.
Vou aplicar essa fórmula numericamente com os valores que já calculei.

Passo 4

Calcular numericamente \theta(0,t) pela aproximação de primeiro termo.
Valores que já temos: \zeta_1\approx 2{,}404825, \mathrm{Fo}\approx 0{,}3857.
  1. calcule \zeta_1^2:
\zeta_1^2\approx (2{,}404825)^2\approx 5{,}783.
  1. calcule o coeficiente \dfrac{4}{\zeta_1^2}:
\frac{4}{\zeta_1^2}\approx \frac{4}{5{,}783}\approx 0{,}6920.
  1. calcule o expoente \exp(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}):
\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}\approx 5{,}783\cdot 0{,}3857\approx 2{,}232,
\exp(-2{,}232)\approx 0{,}1076.
  1. agora \theta(0,t)\approx 0{,}6920\cdot 0{,}1076 \approx 0{,}0745.
Isto significa que a fração adimensional restante entre a temperatura central e a diferença inicial é \theta(0,t)\approx 0{,}0745.

Passo 5

Volto à temperatura dimensional:
\theta(0,t)=\frac{T_\text{centro}(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\Rightarrow T_\text{centro}(t)=T_\infty+\theta(0,t)\,(T_i-T_\infty).
Substituo números:
T_\text{centro}=116^\circ\mathrm{C}+0{,}0745\cdot(21^\circ\mathrm{C}-116^\circ\mathrm{C}).
21-116=-95,
0{,}0745\cdot(-95)\approx -7{,}0775.
T_\text{centro}\approx 116-7{,}0775\approx 108{,}92^\circ\mathrm{C}.
Interpretação e comentário sobre precisão: usando a aproximação de primeiro termo com condição de superfície praticamente fixa, obtenho T_\text{centro}\approx 108{,}9^\circ\mathrm{C}. Como \mathrm{Bi} é muito grande, a condição de superfície fixa é razoável; o erro do primeiro termo normalmente é da ordem de alguns por cento para \mathrm{Fo} da ordem de 0{,}1 a 1. Portanto esperar um resultado na faixa 108^\circ\mathrm{C} a 111^\circ\mathrm{C} é realista. Se precisarmos de precisão maior, devemos usar mais termos da série ou um cálculo numérico.

Passo 6

Resposta à pergunta B (sobre considerar cilindro infinito):
  • Para que a aproximação de “cilindro infinito” (ou seja, só considerar condução radial e desprezar trocas pelas extremidades axiais) seja válida, o comprimento deve ser grande comparado ao raio/diâmetro. Aqui L=0{,}30\\ \mathrm{m} e D=0{,}10\\ \mathrm{m}, logo L=3D ou L=6r_0. Uma regra prática simples é que se L\gtrsim 5D (ou L\gtrsim 10 r_0) o modelo infinito é muito bem justificado; com L=3D a condição não é tão forte. Portanto:
    • A aproximação de cilindro infinitamente longo é uma aproximação moderada: ela captura corretamente o comportamento radial e é útil para estimativas rápidas, mas ignora trocas de calor pelas extremidades (tampas).
    • Como as extremidades (as faces do cilindro) também trocam calor com o banho, o modelo infinito tende a subestimar ligeiramente a velocidade de aquecimento (no modelo real haverá aquecimento adicional por essas faces), então o centro real pode aquecer um pouco mais rápido do que o modelo puramente radial prevê.
      Conclusão: não é totalmente rigoroso considerar a salsicha como cilindro infinito, mas para uma estimativa de engenharia rápida pode-se aceitá-lo; para maior precisão inclua efeitos das extremidades (modelo de cilindro finito ou simulação numérica).

Resposta

T_\text{centro}(t=2\\ \mathrm{h})\approx 108{,}9^\circ\mathrm{C}
Não é totalmente razoável assumir cilindro infinito (o comprimento L=0{,}30\\ \mathrm{m} é apenas 3 vezes o diâmetro), portanto efeitos das extremidades podem ser relevantes; a aproximação “infinito” é aceitável para estimativas rápidas, mas não para alta precisão.

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