No processamento de salsicha é necessário determinar a temperatura no centro desse produto quando o mesmo é submetido a um tempo de aquecimento. A salsicha pode ser considerada um cilindro de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro e está inicialmente a
. O aquecimento desse produto será feito em autoclave, que é mantida a
. A) Calcular a temperatura no centro de uma salsicha após 2 horas de aquecimento. Dados:
; propriedades térmicas da salsicha: densidade
.
B) É razoável considerar a salsicha como um cilindro infinito no equacionamento desse problema.
B) É razoável considerar a salsicha como um cilindro infinito no equacionamento desse problema.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular a temperatura no centro da salsicha (centro radial) após
horas de aquecimento em uma autoclave mantida a . - Dizer se é razoável considerar a salsicha como um cilindro infinito no modelo.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não perder nada):
Observação: a pergunta A é de condução transiente no radial de um cilindro com convecção na superfície. No passo seguinte vou decidir o método com base nesses dados (nº de Biot, comparações de escalas, etc.). Não resolvo nada ainda aqui.
Passo 2
Vamos calcular grandezas térmicas básicas que nos dizem que método usar.
- difusividade térmica
:
Faço a conta passo a passo:
- número de Biot para a geometria cilíndrica (usado para avaliar o regime de superfície). Para problemas radiais de cilindro costuma-se usar a forma
Calculo:
Esse valor é grande (
), o que indica que há resistência térmica interna significativa e que o modelo de “capacitação uniforme” (método do corpo adiabático ou lumped capacitance) NÃO é válido.
- número de Fourier (caracteriza o tempo adimensional):
Faço a conta:
Resumo deste passo:
,
(muito grande),
. Conclusão: não podemos usar o modelo lumped; precisamos de uma solução de condução transiente radial. Como
é muito grande, a superfície da salsicha tende a ficar próxima da temperatura do banho (autoclave) relativamente rápido, então uma aproximação útil é tratar a superfície como temperatura imposta
(condição de contorno de Dirichlet) e usar a solução de um cilindro longo (radial) com superfície mantida em
. Essa é uma aproximação padrão quando
é grande — vou usar a aproximação de primeiro termo da série para o cilindro com superfície constante para obter uma estimativa prática e rápida (método compatível com exames práticos). Vou explicar a fórmula e aplicá-la numericamente.
Passo 3
Teoria simplificada (explicada devagar): solução transiente para um cilindro de raio
cuja superfície é mantida em temperatura
(caso limite de convecção muito forte). Definimos a temperatura adimensional
assim inicialmente
e na superfície
.
A solução analítica com separação de variáveis dá uma série com autovalores
(raízes de
, onde
é a função de Bessel de ordem zero) e termos decaindo exponencialmente
. Para o centro (
) a forma da série é
Na prática, para tempos moderados a grandes o primeiro termo domina e usamos a aproximação de primeiro autovalor (
) — isso é chamado de aproximação de “primeiro termo” e é frequentemente aceitável quando se quer uma resposta rápida e razoavelmente precisa. Para o caso de superfície mantida em
o primeiro autovalor é
Uma forma prática usada em tabelas/quadros (Heisler / séries) e adotada aqui é aproximar
Observações didáticas sobre essa aproximação:
- O fator
é um coeficiente que representa a contribuição do primeiro modo para a condição inicial uniforme; seu valor numérico é menor que e garante que aproximado seja razoável (o somatório completo daria exatamente ). - Essa aproximação é prática para estimativas e é consistente com formas tabuladas de soluções unidimensionais em coordenadas cilíndricas para o caso de superfície mantida. Como
é grande, tomamos a condição de contorno como . - Se fosse necessário altíssima precisão (erro < alguns %), usaríamos duas ou mais termos da série ou solução numérica; para provas e estimativas de engenharia, o primeiro termo costuma ser suficiente.
Vou aplicar essa fórmula numericamente com os valores que já calculei.
Passo 4
Calcular numericamente
pela aproximação de primeiro termo.
Valores que já temos:
,
.
- calcule
:
- calcule o coeficiente
:
- calcule o expoente
:
- agora
Isto significa que a fração adimensional restante entre a temperatura central e a diferença inicial é
.
Passo 5
Volto à temperatura dimensional:
Substituo números:
Interpretação e comentário sobre precisão: usando a aproximação de primeiro termo com condição de superfície praticamente fixa, obtenho
. Como
é muito grande, a condição de superfície fixa é razoável; o erro do primeiro termo normalmente é da ordem de alguns por cento para
da ordem de
a
. Portanto esperar um resultado na faixa
a
é realista. Se precisarmos de precisão maior, devemos usar mais termos da série ou um cálculo numérico.
Passo 6
Resposta à pergunta B (sobre considerar cilindro infinito):
- Para que a aproximação de “cilindro infinito” (ou seja, só considerar condução radial e desprezar trocas pelas extremidades axiais) seja válida, o comprimento deve ser grande comparado ao raio/diâmetro. Aqui
e , logo ou . Uma regra prática simples é que se (ou ) o modelo infinito é muito bem justificado; com a condição não é tão forte. Portanto: - A aproximação de cilindro infinitamente longo é uma aproximação moderada: ela captura corretamente o comportamento radial e é útil para estimativas rápidas, mas ignora trocas de calor pelas extremidades (tampas).
- Como as extremidades (as faces do cilindro) também trocam calor com o banho, o modelo infinito tende a subestimar ligeiramente a velocidade de aquecimento (no modelo real haverá aquecimento adicional por essas faces), então o centro real pode aquecer um pouco mais rápido do que o modelo puramente radial prevê.
Conclusão: não é totalmente rigoroso considerar a salsicha como cilindro infinito, mas para uma estimativa de engenharia rápida pode-se aceitá-lo; para maior precisão inclua efeitos das extremidades (modelo de cilindro finito ou simulação numérica).
Resposta
Não é totalmente razoável assumir cilindro infinito (o comprimento
é apenas
vezes o diâmetro), portanto efeitos das extremidades podem ser relevantes; a aproximação “infinito” é aceitável para estimativas rápidas, mas não para alta precisão.