(Processo de descarga de um capacitor) Mostre que
(a) a carga instantânea num circuito R-C durante o processo de descarga de um capacitor inicial carregado com carga
é
(b) que a corrente instantânea é
(a) a carga instantânea num circuito R-C durante o processo de descarga de um capacitor inicial carregado com carga
Passo 1
O enunciado pede duas coisas durante o processo de descarga de um capacitor inicialmente carregado com carga
:
- A expressão da carga instantânea
no capacitor. - A expressão da corrente instantânea
no circuito.
Informações dadas e condições iniciais:
- Há um circuito série com um resistor de resistência
e um capacitor de capacitância . - No instante
o capacitor tem carga . - A partir de
o capacitor é deixado descarregar através do resistor (não há fonte externa). - Queremos as expressões
e para .
Passo 2
Definições e convenções de sinal — isso é importante para não nos perder:
- Definimos
como a carga no prato positivo do capacitor (portanto ). - A tensão (diferença de potencial) no capacitor é dada pela lei do capacitor:
Aqui
é a capacitância (unidade Farad),
em Coulomb e
em Volts.
- Definimos
como a corrente que circula pelo resistor no sentido da descarga (isto é, saindo do prato positivo do capacitor). Note que, nesse sentido, enquanto o capacitor descarrega, sua carga diminui, então é negativo. Mais adiante veremos a relação entre e .
Passo 3
Relações fundamentais que usaremos:
- Lei de Ohm para o resistor:
onde
é a resistência e
a corrente.
- Relação entre corrente e carga no capacitor: a definição de corrente é a taxa de variação da carga no terminal considerado. Se tomarmos
como a corrente que sai do prato positivo, então a carga no prato positivo diminui quando a corrente é positiva, portanto
Observação: com essa escolha de sinal temos
durante a descarga. É uma convenção perfeitamente válida e consistente.
Passo 4
Equação de circuito (Lei das malhas de Kirchhoff):
Ao percorrer a malha durante a descarga, a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor deve ser zero (não há fonte):
Ao percorrer a malha durante a descarga, a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor deve ser zero (não há fonte):
Substituindo as fórmulas para
e
obtemos
Agora usamos
para escrever tudo em termos de
:
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial para
:
A equação obtida é uma equação diferencial linear de primeira ordem simples. Podemos separá-la:
A equação obtida é uma equação diferencial linear de primeira ordem simples. Podemos separá-la:
Agora separamos variáveis:
Integramos ambos os lados. Integramos de
até
e de
até
(isso aplica a condição inicial
):
As integrais são:
Exponenciando ambos os lados:
e finalmente
Pronto — a carga decai exponencialmente com constante de tempo
. Intuitivamente,
é o tempo em que a carga (ou tensão ou corrente) cai a
do seu valor inicial.
Passo 6
Obtendo a corrente
:
Usamos a relação . Diferenciando a expressão de
obtemos
Usamos a relação
Portanto, com a nossa convenção de sinal (onde
), a corrente é
Comentário sobre o sinal: o sinal negativo aparece porque definimos
como a carga do prato positivo; durante a descarga essa carga diminui, logo
. Se você preferir usar uma notação que dá à corrente um valor positivo durante a descarga (isto é, trabalhar sempre com a magnitude da corrente no sentido do fluxo), defina
que é o valor absoluto da corrente inicial em módulo. Nesse caso a magnitude da corrente durante a descarga é
Alguns livros escrevem simplesmente
entendendo
como a corrente inicial positiva no sentido da descarga; outros mantêm o sinal negativo para indicar que
está diminuindo. Ambas as notações são usadas; o importante é entender a convenção de sinais.