(Processo de descarga de um capacitor) Mostre que
(a) a carga instantânea num circuito R-C durante o processo de descarga de um capacitor inicial carregado com carga Q_{0} é
q(t)=Q_{0} e^{-t / R C}
(b) que a corrente instantânea é
i(t)=I_{0} e^{-t / R C}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas durante o processo de descarga de um capacitor inicialmente carregado com carga Q_{0}:
  1. A expressão da carga instantânea q(t) no capacitor.
  2. A expressão da corrente instantânea i(t) no circuito.
Informações dadas e condições iniciais:
  • Há um circuito série com um resistor de resistência R e um capacitor de capacitância C.
  • No instante t=0 o capacitor tem carga q(0)=Q_{0}.
  • A partir de t=0 o capacitor é deixado descarregar através do resistor (não há fonte externa).
  • Queremos as expressões q(t) e i(t) para t\ge 0.

Passo 2

Definições e convenções de sinal — isso é importante para não nos perder:
  • Definimos q(t) como a carga no prato positivo do capacitor (portanto q(0)=Q_{0}).
  • A tensão (diferença de potencial) no capacitor é dada pela lei do capacitor:
V_{C}(t)=\frac{q(t)}{C}.
Aqui C é a capacitância (unidade Farad), q(t) em Coulomb e V_C em Volts.
  • Definimos i(t) como a corrente que circula pelo resistor no sentido da descarga (isto é, saindo do prato positivo do capacitor). Note que, nesse sentido, enquanto o capacitor descarrega, sua carga diminui, então dq/dt é negativo. Mais adiante veremos a relação entre i(t) e dq/dt.

Passo 3

Relações fundamentais que usaremos:
  • Lei de Ohm para o resistor:
V_{R}(t)=R\,i(t),
onde R é a resistência e i(t) a corrente.
  • Relação entre corrente e carga no capacitor: a definição de corrente é a taxa de variação da carga no terminal considerado. Se tomarmos i(t) como a corrente que sai do prato positivo, então a carga no prato positivo diminui quando a corrente é positiva, portanto
i(t)=\frac{dq}{dt}(t).
Observação: com essa escolha de sinal temos \frac{dq}{dt}<0 durante a descarga. É uma convenção perfeitamente válida e consistente.

Passo 4

Equação de circuito (Lei das malhas de Kirchhoff):
Ao percorrer a malha durante a descarga, a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor deve ser zero (não há fonte):
V_{R}(t)+V_{C}(t)=0.
Substituindo as fórmulas para V_{R} e V_{C} obtemos
R\,i(t)+\frac{q(t)}{C}=0.
Agora usamos i(t)=\dfrac{dq}{dt}(t) para escrever tudo em termos de q:
R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial para q(t):
A equação obtida é uma equação diferencial linear de primeira ordem simples. Podemos separá-la:
R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0
\Rightarrow \frac{dq}{dt} = -\frac{1}{RC}\,q.
Agora separamos variáveis:
\frac{dq}{q} = -\frac{dt}{RC}.
Integramos ambos os lados. Integramos de t=0 até t e de q=Q_{0} até q=q(t) (isso aplica a condição inicial q(0)=Q_{0}):
\int_{Q_{0}}^{q(t)}\frac{1}{q'}\,dq' = -\int_{0}^{t}\frac{1}{RC}\,dt'.
As integrais são:
\ln\!\left(\frac{q(t)}{Q_{0}}\right) = -\frac{t}{RC}.
Exponenciando ambos os lados:
\frac{q(t)}{Q_{0}} = e^{-t/(RC)}
e finalmente
q(t)=Q_{0}e^{-t/(RC)}.
Pronto — a carga decai exponencialmente com constante de tempo \tau=RC. Intuitivamente, \tau é o tempo em que a carga (ou tensão ou corrente) cai a 1/e do seu valor inicial.

Passo 6

Obtendo a corrente i(t):
Usamos a relação i(t)=\dfrac{dq}{dt}(t). Diferenciando a expressão de q(t) obtemos
\frac{dq}{dt}(t) = Q_{0}\left(-\frac{1}{RC}\right)e^{-t/(RC)} = -\frac{Q_{0}}{RC}e^{-t/(RC)}.
Portanto, com a nossa convenção de sinal (onde i=\dfrac{dq}{dt}), a corrente é
i(t) = -\frac{Q_{0}}{RC}e^{-t/(RC)}.
Comentário sobre o sinal: o sinal negativo aparece porque definimos q(t) como a carga do prato positivo; durante a descarga essa carga diminui, logo \dfrac{dq}{dt}<0. Se você preferir usar uma notação que dá à corrente um valor positivo durante a descarga (isto é, trabalhar sempre com a magnitude da corrente no sentido do fluxo), defina
I_{0}=\frac{Q_{0}}{RC},
que é o valor absoluto da corrente inicial em módulo. Nesse caso a magnitude da corrente durante a descarga é
|i(t)| = I_{0}e^{-t/(RC)}.
Alguns livros escrevem simplesmente i(t)=I_{0}e^{-t/(RC)} entendendo I_{0} como a corrente inicial positiva no sentido da descarga; outros mantêm o sinal negativo para indicar que q está diminuindo. Ambas as notações são usadas; o importante é entender a convenção de sinais.

Resposta

q(t)=Q_{0}e^{-t/(RC)}
i(t)=-\dfrac{Q_{0}}{RC}e^{-t/(RC)}=\;I_{0}e^{-t/(RC)} \quad\text{com}\quad I_{0}=\pm\dfrac{Q_{0}}{RC}\\ (\text{escolha de sinal conforme convenção})çã

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