Uma onda em uma corda é descrita pela equação
y(x, t)=15,0 \operatorname{sen}(\pi x / 8-4 \pi t)

Passo 1

Enunciado dado: a onda na corda é descrita por
y(x,t)=15{,}0\\ \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{8}-4\pi t\right).
O que vou determinar (questões típicas que se pede sobre ondas): amplitude A, número de onda k, frequência angular \omega, comprimento de onda \lambda, frequência f, período T, velocidade de propagação v e direção de propagação. Esses são os dados relevantes fornecidos pela expressão dentro do seno: \frac{\pi x}{8}-4\pi t.

Passo 2

Identificar a amplitude.
Na forma geral de uma onda harmônica transversal temos
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi_0),
onde A é a amplitude (o valor máximo do deslocamento transverse). Comparando com a dada,
y(x,t)=15{,}0\sin\!\left(\frac{\pi x}{8}-4\pi t\right),
vemos que o coeficiente multiplicando o seno é a amplitude. Portanto
A=15{,}0.
Explicação didática: amplitude é simplesmente o “fator à frente do seno”, mede o máximo deslocamento vertical da corda (mesma unidade de y).

Passo 3

Identificar o número de onda k e a frequência angular \omega.
A fase geral é kx-\omega t+\varphi_0. Aqui a fase é \dfrac{\pi x}{8}-4\pi t. Logo, por comparação,
k=\frac{\pi}{8},\qquad \omega=4\pi.
Unidades e significado: k tem unidades de \mathrm{rad/m} e indica quantos radianos a fase varia por metro; \omega tem unidades de \mathrm{rad/s} e indica quantos radianos por segundo a fase varia no tempo.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda a partir de k.
Relação entre k e \lambda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isolando \lambda,
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=\dfrac{\pi}{8}:
\lambda=\frac{2\pi}{\pi/8}=2\pi\cdot\frac{8}{\pi}=16.
Portanto \lambda=16 (unidades de comprimento, assumimos metros se x está em metros). Explicação: comprimento de onda é a distância entre pontos consecutivos em fase (ex.: crista a crista).

Passo 5

Calcular a frequência f e o período T a partir de \omega.
Relação entre \omega, f e T:
\omega=2\pi f,\qquad T=\frac{1}{f}.
Isolando f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4\pi}{2\pi}=2.
Portanto f=2 (hertz). O período é
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Interpretação: a corda completa 2 oscilações por segundo; o tempo entre duas oscilações consecutivas é 0{,}5 s.

Passo 6

Calcular a velocidade de propagação v.
Duas fórmulas equivalentes: v=\lambda f ou v=\dfrac{\omega}{k}. Uso ambas para conferir o resultado.
Usando v=\lambda f:
v=\lambda f=16\cdot 2=32.
Usando v=\dfrac{\omega}{k}:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{4\pi}{\pi/8}=4\pi\cdot\frac{8}{\pi}=32.
Portanto v=32 (unidades de comprimento por tempo, ex.: \mathrm{m/s}). Explicação: velocidade de propagação é a rapidez com que a forma de onda (cristas, vales) se desloca ao longo da corda.

Passo 7

Determinar a direção de propagação.
A forma de fase é kx-\omega t. Quando a fase está na forma kx-\omega t a onda desloca-se no sentido positivo de x. Quando fosse kx+\omega t deslocar-se-ia no sentido negativo de x. Logo, aqui a onda se propaga no sentido positivo de x (para +x). Explicação intuitiva: o sinal menos em -\omega t corresponde a uma onda viajando para a direita (aumentar x desloca-se para valores de fase que compensam o aumento de t).

Passo 8

Resumo e checagem rápida com um exemplo numérico (ilustrativo): calcular y em x=0, t=0. Substituindo na fórmula:
y(0,0)=15{,}0\sin(0)=0,
o que confirma que a fase inicial é zero e o deslocamento inicial é zero. Isso é só um exemplo para ver como usar a solução na prova.

Resposta

A=15{,}0
k=\dfrac{\pi}{8}\\ \mathrm{rad/m}
\omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}
\lambda=16
f=2\\ \mathrm{Hz}
T=0{,}5\\ \mathrm{s}
v=32
direção: propagação no sentido +x

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