Em um processo de descontaminação de ar, são inseridos 600 metros cúbicos de ar puro por minuto em um quarto com capacidade para 20000 metros cúbicos. O ambiente é misturado uniformemente usando ventiladores e o ar misturado é extraído do quarto a una taxa de 600 metros cúbicos por minuto. Se inicialmente a concentração de poluentes no quarto era de 3500 microgramas por metro cúbico, quanto tempo deve ser mantido este processo para que a concentração de poluente tenha reduzido 50 % ?

Passo 1

O enunciado descreve um quarto de volume V=20000 m³ onde entra ar puro à taxa r=600 m³/min e sai ar misturado à mesma vazão. A concentração inicial de poluentes é C(0)=3500 µg/m³. Queremos o tempo para que essa concentração caia a 50%. O conteúdo é modelar o balanço de massa por uma equação diferencial de primeira ordem e reconhecer a solução exponencial.

Passo 2

Definimos a massa de poluente no quarto como Q(t)=V,C(t). O balanço de massa dá
dQdt = entrada - saída = rcdot Cin - rcdot C(t) = 0 - rQV = -rV,Q í

Passo 3

A equação
dQdt = -rV,Q
é separável. Integramos
integral dQQ = -rVintegral dt Longrightarrow ln Q = -rVt + ln Q0
logo
Q(t)=Q0expl(-rVtr)
Como C(t)=Q(t)/V e C0=Q0/V, segue
C(t)=C0expl(-rVtr)

Passo 4

Para reduzir a concentração a 50% basta fazer C(t)=tfrac12C0, ou seja
expl(-rVtr)=12 Longrightarrow -rVt = ln12 = -ln 2 Longrightarrow t = Vr,ln 2
Substituindo V=20000 e r=600
t = 20000600,ln 2 approx 33,333,times0,6931 approx 23,1;min

Resposta

O processo deve durar
t = 20000600,ln 2 approx 23,1 minutos

Exercícios relacionados