No processo de determinação dos zeros da função
utilizando o método de Newton_Raphson (quando necessário, use o PYTHON ou VCN para auxiliar a realização das contas) você deve fazer diversas escolhas para
. Comente sobre o que acontece em cada item a seguir:
a)
. Por que não é possível esta escolha?
b)
para determinar a raiz
. Por que o método retorna outra raiz?
c)
para determinar o zero
exigiu uma grande quantidade de iterações. Por que isso aconteceu? O que fazer para determinar essa mesma raiz e realizar um menor número de iterações?
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede analisar três escolhas diferentes de ponto inicial
no método de Newton–Raphson para a função
com a atualização
onde
Vamos ver por que em cada caso o método ou falha, ou converge a outra raiz, ou demora muito.
Passo 2
Para
temos
então no primeiro passo
é indefinido (divisão por zero). Ou seja, não dá para traçar a reta tangente em
e o método não se inicia.
Passo 3
Para
calculamos
Nas iterações seguintes o valor de
converge para
, não para
. Isso ocorre porque, na vizinhança de
, a raiz
é instável (repulsor) e a raiz
são atratores; o ponto
está no domínio de atração de
.
Passo 4
Para
estamos muito perto de
, onde
Assim o denominador
fica quase zero, tornando os passos de Newton extremamente pequenos e o processo muito lento (pouca variação a cada iteração). Para acelerar, basta escolher um
afastado de pontos críticos e mais próximo da raiz desejada, por exemplo
ou
, reduzindo bastante o número de iterações.
Resposta
a)
não é possível pois
, gerando divisão por zero.
b) Com o método cai no domínio de atração de
, não de
.
c) muito próximo de
faz
quase zero e atrasa a convergência; para melhorar, escolha um ponto inicial longe de
, mas próximo de
(por ex.
ou
).
b) Com
c)