No processo de determinação dos zeros da função f(x)=x^{3}-3 x utilizando o método de Newton_Raphson (quando necessário, use o PYTHON ou VCN para auxiliar a realização das contas) você deve fazer diversas escolhas para \mathrm{X}_{0}. Comente sobre o que acontece em cada item a seguir:
a) \quad X_{0 .}=-1. Por que não é possível esta escolha?
b) \quad \mathrm{X}_{0 .}=2 para determinar a raiz \mathrm{x}=0. Por que o método retorna outra raiz?
c) \mathrm{X}_{0 .}=1,00000000000001 para determinar o zero \sqrt{3} exigiu uma grande quantidade de iterações. Por que isso aconteceu? O que fazer para determinar essa mesma raiz e realizar um menor número de iterações?

Passo 1

O enunciado pede analisar três escolhas diferentes de ponto inicial \mathrm{X}_0 no método de Newton–Raphson para a função
f(x)=x^3-3x
com a atualização
x_{n+1} \;=\; x_n \;-\;\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
onde
f'(x)=3x^2-3.
Vamos ver por que em cada caso o método ou falha, ou converge a outra raiz, ou demora muito.

Passo 2

Para \mathrm{X}_0=-1 temos
f'(-1)=3(-1)^2-3=0,
então no primeiro passo
x_1=-1-\frac{f(-1)}{f'(-1)}
é indefinido (divisão por zero). Ou seja, não dá para traçar a reta tangente em -1 e o método não se inicia.

Passo 3

Para \mathrm{X}_0=2 calculamos
f(2)=8-6=2,\quad f'(2)=9, \quad x_1=2-\frac{2}{9}\approx1{,}778.
Nas iterações seguintes o valor de x_n converge para \sqrt{3}\approx1{,}732, não para 0. Isso ocorre porque, na vizinhança de 2, a raiz 0 é instável (repulsor) e a raiz \pm\sqrt{3} são atratores; o ponto 2 está no domínio de atração de \sqrt{3}.

Passo 4

Para \mathrm{X}_0=1{,}00000000000001 estamos muito perto de x=1, onde
f'(1)=3-3=0.
Assim o denominador \,f'(x_n) fica quase zero, tornando os passos de Newton extremamente pequenos e o processo muito lento (pouca variação a cada iteração). Para acelerar, basta escolher um \mathrm{X}_0 afastado de pontos críticos e mais próximo da raiz desejada, por exemplo \mathrm{X}_0=1{,}7 ou \mathrm{X}_0=2, reduzindo bastante o número de iterações.

Resposta

a) \mathrm{X}_0=-1 não é possível pois f'(-1)=0, gerando divisão por zero.
b) Com \mathrm{X}_0=2 o método cai no domínio de atração de \sqrt{3}, não de 0.
c) \mathrm{X}_0 muito próximo de 1 faz f'(x) quase zero e atrasa a convergência; para melhorar, escolha um ponto inicial longe de x=1, mas próximo de \sqrt{3} (por ex. 1,7 ou 2).

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