Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{1-\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sqrt{1-\frac{1}{x}}
e pede o domínio. Aqui vamos precisar lembrar que para uma raiz quadrada de um número real a expressão dentro da raiz (o radicando) deve ser não negativa e que não podemos dividir por zero.

Passo 2

Primeiro garantimos que o denominador não seja zero, ou seja, x \neq 0. Em seguida impomos que o radicando seja maior ou igual a zero:
1 - \frac{1}{x} \;\ge\; 0.
Colocando no mesmo quociente, temos
\frac{x - 1}{x} \;\ge\; 0.

Passo 3

Para resolver \frac{x-1}{x}\ge0, analisamos o sinal nos intervalos determinados pelas raízes do numerador x=1 e do denominador x=0:
  • Em x<0: temos x-1<0 e x<0, logo \frac{x-1}{x}>0.
  • Em 0<x<1: temos x-1<0 e x>0, logo \frac{x-1}{x}<0.
  • Em x>1: temos x-1>0 e x>0, logo \frac{x-1}{x}>0.
Também incluímos x=1 porque aí \frac{x-1}{x}=0 e \sqrt{0}=0 é válido.

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,0)\;\cup\;[1,\infty).

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