Um processo (incluindo válvula e sensor-transmissor) possui a seguinte função de transferência aproximada:
com constante de tempo e atraso em minutos.
Calcule a margem de ganho do sistema em malha fechada.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um processo (com válvula e sensor) cuja função de transferência aproximada em malha aberta é
onde “0,2 s” é o atraso e “1 s” é a constante de tempo. A gente precisa achar a margem de ganho do sistema em malha fechada — isto é, quanto do ganho a mais o sistema aguenta antes de ficar instável. Para isso vamos usar conceito de Bode: achar a frequência em que a fase total chega a –180° e, naquele ponto, calcular o quanto falta de ganho para chegar a 0 dB.
Passo 2
Teoria rápida:
Margem de ganho (GM) é definida como
onde omega180 é a frequência em que a fase do laço aberto vale –180°.
2) A fase total de G(jomega)=2,e^-j0.2omegajomega+1é a soma da fase do pólo simples e do atraso:phi(omega)=-underbracearctan(omega)pólo -underbrace0.2,omegaatraso (rad), ó
3) A gente resolve phi(omega180)=-pi;Longrightarrow;arctan(omega180)+0.2,omega180=pi,
Passo 3
Vamos achar numericamente omega180:
Testando valores dá cerca deomega180approx 8.45 (rad/min),,
pois arctan(8.45)approx1.4507 rad, 0.2cdot8.45=1.69 rad,e 1.4507+1.69approx3.1407approxpi,.