Um processo (incluindo válvula e sensor-transmissor) possui a seguinte função de transferência aproximada:
G(s)=2 e^-0,2 ss+1
com constante de tempo e atraso em minutos.
Calcule a margem de ganho do sistema em malha fechada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um processo (com válvula e sensor) cuja função de transferência aproximada em malha aberta é
G(s)=2,e^-0.2ss+1,,
onde “0,2 s” é o atraso e “1 s” é a constante de tempo. A gente precisa achar a margem de ganho do sistema em malha fechada — isto é, quanto do ganho a mais o sistema aguenta antes de ficar instável. Para isso vamos usar conceito de Bode: achar a frequência em que a fase total chega a –180° e, naquele ponto, calcular o quanto falta de ganho para chegar a 0 dB.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Margem de ganho (GM) é definida como GM=1l|G(jomega180)r|,,
    onde omega180 é a frequência em que a fase do laço aberto vale –180°.
    2) A fase total de
    G(jomega)=2,e^-j0.2omegajomega+1é a soma da fase do pólo simples e do atraso: phi(omega)=-underbracearctan(omega)pólo -underbrace0.2,omegaatraso (rad), ó
    3) A gente resolve
    phi(omega180)=-pi;Longrightarrow;arctan(omega180)+0.2,omega180=pi,

Passo 3

Vamos achar numericamente omega180:
  • Testando valores dá cerca de omega180approx 8.45 (rad/min),,
    pois
    arctan(8.45)approx1.4507 rad, 0.2cdot8.45=1.69 rad,e 1.4507+1.69approx3.1407approxpi,.

Passo 4

Agora calculamos o módulo em omega180:
|G(jomega180)|=2raiz1+omega180^2 approx2raiz1+8.45^2 =28.51approx0.235,
Logo a margem de ganho em valor linear é
GM=10.235approx4.26,
Se quiser em dB:
20log10(4.26)approx12.6 dB,

Resposta

A margem de ganho do sistema é aproximadamente
boxed4,26(ou 12,6 dB),

Exercícios relacionados