Em um processo de manufatura foram coletadas amostras de n=4 em intervalos regulares. Os dados da característica da qualidade analisados foram medidos e os valores de \mu e s calculados para cada amostra. Foram analisadas 50 amostras.
\sum_{i=1}^{50} \bar{x}_{i}=1000 ; \sum_{i=1}^{50} S_{i}=72
a) Se os limites de especificação são 19+/-4, o que você conclui sobre a capacidade do processo?
b) Se os limites de especificação forem 19 \pm 4, qual o percentual (proporção) de peças fora da especificação e em partes por milhão (ppm)? Considere a média do processo para os cálculos.
c) Se o processo estivesse centrado com média 19,0, o que seria o efeito sobre a porcentagem de sucata e retrabalho?

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (o que se pede e o que já foi fornecido):
  • Foram coletadas 50 amostras de tamanho n=4.
  • Foi informado: \sum_{i=1}^{50} \bar{x}_{i}=1000,\qquad \sum_{i=1}^{50} S_{i}=72.
  • Limites de especificação dados em (a) e (b): 19\pm4. Logo: \text{LSL} = 19-4 = 15,\qquad \text{USL} = 19+4 = 23.
  • Perguntas:
    a) Concluir sobre a capacidade do processo (avaliar capacidade: índices como C_p e C_{pk} e dizer se o processo é capaz).
    b) Com a média do processo (usar a média estimada pelos dados), calcular a porcentagem (proporção) de peças fora da especificação e converter para partes por milhão (ppm).
    c) Se o processo estivesse centrado em média 19{,}0, qual seria o efeito sobre a porcentagem de sucata e retrabalho? (comparar com o caso real)

Passo 2

Cálculo da média global do processo (média das médias amostrais).
  • A média global das médias amostrais é
\bar{\bar{x}}=\frac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}\bar{x}_{i}=\frac{1000}{50}.
  • Calculando:
\bar{\bar{x}}=20{,}0.
Explicação rápida: \bar{\bar{x}} é a melhor estimativa da média do processo quando usamos amostras por subgrupos.

Passo 3

Cálculo da média das desvios-amostrais \bar{S} (média de S_i) e interpretação de S_i.
  • A média dos desvios das amostras é
\bar{S}=\frac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}S_{i}=\frac{72}{50}.
  • Calculando:
\bar{S}=1{,}44.
Explicação: cada S_i é o desvio padrão dentro da i-ésima amostra (do tamanho n=4). \bar{S} é a média desses desvios e será usada para estimar a variabilidade do processo.

Passo 4

Estimativa do desvio padrão do processo \sigma a partir de \bar{S}: correção com c_4.
  • Para amostras pequenas, o valor esperado de S é E(S)=c_4(n)\,\sigma, onde c_4(n) é um fator de correção que depende de n.
  • Para n=4 o valor tabelado é aproximadamente c_4(4)=0{,}92135.
  • Assim a estimativa não-viciada de \sigma é
\hat{\sigma}=\frac{\bar{S}}{c_4(4)}.
  • Substituindo:
\hat{\sigma}=\frac{1{,}44}{0{,}92135}\approx 1{,}563.
Explicação didática: \bar{S} tende a subestimar \sigma para amostras pequenas; dividir por c_4 corrige esse viés. Aqui \hat{\sigma} é a estimativa da dispersão real do processo.

Passo 5

Cálculo do índice C_p (capacidade potencial do processo) e explicação da fórmula.
  • Definição: C_p mede a largura da especificação relativa à variabilidade do processo e é dado por
C_p=\frac{\text{USL}-\text{LSL}}{6\hat{\sigma}}.
  • No nosso caso \text{USL}-\text{LSL}=23-15=8. Então
C_p=\frac{8}{6\cdot 1{,}563}.
  • Calculando:
C_p\approx\frac{8}{9{,}378}\approx 0{,}853.
Explicação: se C_p\ge 1{,}0 costuma-se considerar que o processo tem variabilidade suficientemente pequena para caber nas especificações (potencialmente capaz); se C_p<1 a variabilidade é grande demais.

Passo 6

Cálculo do índice C_{pk} (capacidade considerando centralização) e explicação.
  • Definição: C_{pk}=\min\left(\dfrac{\text{USL}-\mu}{3\hat{\sigma}},\dfrac{\mu-\text{LSL}}{3\hat{\sigma}}\right), onde \mu é a média do processo (aqui usamos \bar{\bar{x}}=20{,}0).
  • Calcule as duas distâncias normalizadas: \frac{\text{USL}-\mu}{3\hat{\sigma}}=\frac{23-20}{3\cdot 1{,}563}=\frac{3}{4{,}689}\approx 0{,}640,
\frac{\mu-\text{LSL}}{3\hat{\sigma}}=\frac{20-15}{3\cdot 1{,}563}=\frac{5}{4{,}689}\approx 1{,}066.
  • Portanto
C_{pk}=\min(0{,}640,\;1{,}066)=0{,}640.
Explicação: C_{pk} incorpora tanto a variabilidade quanto o quanto o processo está deslocado do centro das especificações. Um C_{pk}<1 indica que uma das caudas está fora do controle/especificação em nível significativo.

Passo 7

Conclusão sobre capacidade do processo (resposta da parte a).
  • Resultados obtidos: C_p\approx 0{,}85,\qquad C_{pk}\approx 0{,}64.
  • Interpretação: como C_p<1 o processo apresenta variabilidade maior do que a largura da especificação permite. Além disso C_{pk}<C_p e C_{pk}<1 indica que o processo não está bem centrado (deslocamento para cima, porque \mu=20{,}0>19{,}0) e, na prática, o processo NÃO é capaz (muitos itens ficarão fora dos limites).

Passo 8

Cálculo da porcentagem de peças fora da especificação usando aproximação normal (parte b): procedimento e fórmulas.
  • Assumimos que a característica segue aproximadamente distribuição normal com média \mu=\bar{\bar{x}}=20{,}0 e desvio \hat{\sigma}=1{,}563.
  • Proporção fora das especificações:
P(\text{fora})=P(X<\text{LSL})+P(X>\text{USL}).
  • Usamos a padronização Z=\dfrac{X-\mu}{\hat{\sigma}}. Então
P(X>\text{USL})=1-\Phi\!\left(\frac{\text{USL}-\mu}{\hat{\sigma}}\right), \qquad P(X<\text{LSL})=\Phi\!\left(\frac{\text{LSL}-\mu}{\hat{\sigma}}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 9

Cálculo numérico das probabilidades de cada cauda e da porcentagem fora.
  • Calcule os valores z: z_{\text{USL}}=\frac{23-20}{1{,}563}\approx 1{,}919,
z_{\text{LSL}}=\frac{15-20}{1{,}563}\approx -3{,}200.
  • Usando tabela/informações da normal padrão: \Phi(1{,}919)\approx 0{,}9726\quad\Rightarrow\quad P(X>23)=1-0{,}9726=0{,}0274,
\Phi(-3{,}200)=1-\Phi(3{,}200)\approx 1-0{,}999312=0{,}000688\quad\Rightarrow\quad P(X<15)\approx 0{,}000688.
  • Soma das duas caudas: P(\text{fora})\approx 0{,}0274+0{,}000688=0{,}028088\approx 0{,}02809.
  • Convertendo para porcentagem: 0{,}02809\times 100\% \approx 2{,}81\%.
  • Convertendo para ppm (partes por milhão): 0{,}02809\times 10^{6}\approx 28{,}088\\ \text{ppm}.
Explicação: a maior parte da sucata está na cauda superior (acima de 23) porque a média está deslocada para cima ( \mu=20).

Passo 10

Efeito de centrar o processo em \mu=19{,}0 (parte c): cálculo e interpretação.
  • Mantendo a mesma variabilidade \hat{\sigma}=1{,}563 mas assumindo nova média centrada \mu_{\text{cent}}=19{,}0, calculamos as novas caudas: z_{\text{USL, cent}}=\frac{23-19}{1{,}563}\approx 2{,}560,
z_{\text{LSL, cent}}=\frac{15-19}{1{,}563}\approx -2{,}560.
  • Pelas tabelas: \Phi(2{,}560)\approx 0{,}9948\quad\Rightarrow\quad P(X>23)=1-0{,}9948=0{,}0052,
\Phi(-2{,}560)=1-\Phi(2{,}560)\approx 0{,}0052.
  • Total fora: P(\text{fora, cent})\approx 0{,}0052+0{,}0052=0{,}0104\approx 1{,}04\%.
  • Em ppm: 0{,}0104\times 10^{6}\approx 10{,}400\\ \text{ppm}.
Interpretação prática sobre sucata e retrabalho:
  • No caso real ( \mu=20{,}0) a maior parte dos defeitos está acima do limite superior (cauda superior), logo haverá mais peças fora por excesso (provável retrabalho/sucata do tipo “alto”) do que por defeito abaixo da especificação.
  • Se o processo fosse centrado em 19{,}0, a taxa total de fora cairia de aproximadamente 2{,}81\% para 1{,}04\% (redução significativa), e as peças fora seriam balanceadas entre as duas caudas (metade acima, metade abaixo), diminuindo o volume total de sucata/retrabalho e eliminando o viés para um tipo específico de defeito.

Resposta

a) C_p\approx 0{,}85,\; C_{pk}\approx 0{,}64. Conclusão: o processo NÃO é capaz (variabilidade alta e deslocamento para cima).
b) Proporção fora da especificação \approx 0{,}02809 (ou 2{,}81\%); em ppm \approx 28\,088\\ \text{ppm}.
c) Se centrado em \mu=19{,}0: proporção fora \approx 0{,}0104 (ou 1{,}04\%), em ppm \approx 10\,400\\ \text{ppm}. Efeito prático: grande redução do total de sucata/retrabalho e balanceamento das peças fora entre as duas caudas (antes havia muito mais peças acima do limite superior).

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