A tabela abaixo apresenta os dados de média e amplitude de 20 amostras de tamanho 5 para um processo de produção de porcas.
Número da
amostra
\overline{\boldsymbol{x}}
\mathbf{R}
\mathbf{1}
130,1
27,9
\mathbf{2}
124,5
57,0
\mathbf{3}
129,6
39,1
\mathbf{4}
117,6
30,0
\mathbf{5}
128,5
42,7
\mathbf{6}
126,1
43,0
\mathbf{7}
111,0
36,1
\mathbf{8}
127,4
46,0
\mathbf{9}
143,5
46,9
\mathbf{1 0}
133,6
33,7
Número da
amostra
\overline{\boldsymbol{x}}
\mathbf{R}
\mathbf{1 1}
134,6
40,6
\mathbf{1 2}
146,7
39,8
\mathbf{1 3}
132,4
50,0
\mathbf{1 4}
138,1
9,2
\mathbf{1 5}
128,7
54,8
\mathbf{1 6}
127,6
53,3
\mathbf{1 7}
127,1
42,9
\mathbf{1 8}
123,4
53,2
\mathbf{1 9}
147,5
38,3
\mathbf{2 0}
139,4
32,2
Média
130,87
40,84
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com as médias amostrais \overline{x} e as amplitudes R de 20 amostras de tamanho n=5. Na própria tabela já está calculada a média das médias e a média das amplitudes, que são, respectivamente, \overline{\overline{x}}=130,87 e \overline{R}=40,84 (peguei esses valores diretamente da linha “Média” da tabela).
As perguntas que vou responder (o que normalmente se pede neste tipo de exercício) são:
Calcular os limites de controle do gráfico de R (amplitude).
Calcular os limites de controle do gráfico de \overline{x} (média).
Verificar, usando esses limites e os dados da tabela, se há pontos fora de controle ou sinais de variação não aleatória.
Todos os dados necessários estão na tabela: as 20 médias amostrais, as 20 amplitudes, \overline{\overline{x}}=130,87 e \overline{R}=40,84. Não há nenhuma outra informação faltando.
Passo 2
Explicação das constantes e das fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
O objetivo dos gráficos de controle é monitorar se a média do processo e a variabilidade do processo permanecem estáveis ao longo do tempo. Para amostras de tamanho fixo n usa-se tabelas de constantes estatísticas (obtidas de teoria/ tabelas padronizadas). As fórmulas e o significado das variáveis são:
\overline{\overline{x}}: média das médias amostrais (aqui 130,87).
\overline{R}: média das amplitudes amostrais (aqui 40,84).
A_2: constante usada para converter \overline{R} em desvio padrão das médias; seu valor depende de n. Para n=5 temos A_2=0,577.
D_3 e D_4: constantes usadas para limites do gráfico de R; para n=5 temos D_3=0 e D_4=2,114.
d_2: constante usada para estimar \sigma a partir de \overline{R}; para n=5 temos d_2=2,326.
\text{(Estimativa do desvio padrão do processo)}\quad \hat{\sigma}=\dfrac{\overline{R}}{d_2}.ã
Comentário didático: A_2 essencialmente representa 3/(\,d_2\sqrt{n}\,) e serve para que os limites do gráfico de médias fiquem a \pm 3 desvios padrão da média das médias. D_3 e D_4 transformam \overline{R} em limites para a variabilidade da amplitude. Essas constantes vêm de tabelas vistas em controle estatístico de processo.
Passo 3
Cálculo dos limites do gráfico de R. Vou usar os valores das constantes para n=5 e o valor \overline{R}=40,84 (da tabela).
Portanto, \;LCL_{\overline{x}}\approx 107,31 e \;UCL_{\overline{x}}\approx 154,43.
Passo 5
Estimativa do desvio padrão do processo (aula prática). Usando \hat{\sigma}=\dfrac{\overline{R}}{d_2} com d_2=2,326 e \overline{R}=40,84:
\hat{\sigma} \approx \dfrac{40,84}{2,326}.
Dividindo:
40,84\div 2,326 \approx 17,56.
Interpretação: a estimativa do desvio padrão do processo é \hat{\sigma}\approx 17,56. Se usássemos a fórmula alternativa para UCL_{\overline{x}} baseada em \hat{\sigma}, teríamos UCL_{\overline{x}}=\overline{\overline{x}}+3\hat{\sigma}/\sqrt{n} e isso dá praticamente o mesmo valor numérico que usamos com A_2 (verificação útil para a prova).
Passo 6
Verificação dos pontos em relação aos limites (uso direto dos dados da tabela).
Primeiro o gráfico de R: como já calculei, UCL_R\approx 86,34 e LCL_R=0. Olhando os 20 valores de R fornecidos na tabela (peguei cada R diretamente da tabela), o maior R é 57,0 (amostra 2) e o menor é 9,2 (amostra 14). Como 57,0<86,34 e 9,2>0, nenhum valor de R está fora dos limites. Logo, pelo critério “ponto fora de 3-sigma” o gráfico de R não indica amostras fora de controle.
Agora o gráfico de \overline{x}: os 20 valores de \overline{x} estão na tabela (peguei-os). O menor é \overline{x}=111,0 (amostra 7) e o maior é \overline{x}=147,5 (amostra 19). Como 111,0>107,31 e 147,5<154,43, nenhum valor de \overline{x} está fora dos limites. Portanto, não há pontos fora de controle no sentido clássico de ultrapassar os limites de 3-sigma.
Passo 7
Verificação de padrões não aleatórios (aula sobre interpretação além dos pontos fora dos limites).
Mesmo quando não há pontos fora dos limites, podemos ter sinais de que o processo não é puramente aleatório: por exemplo, muitas observações consecutivas de um mesmo lado da média (run), tendências, ciclos, etc. Uma regra prática comum é observar sequências longas de pontos de um mesmo lado da linha central. Vou comparar cada \overline{x} com \overline{\overline{x}}=130,87.
Observação importante: as primeiras oito amostras (1 a 8) estão todas do mesmo lado da linha central (abaixo). Ter 8 pontos consecutivos de um mesmo lado é um sinal clássico de comportamento não aleatório (frequentemente usado como critério — algumas variantes usam 7, 8 ou 9 como corte; qualquer sequência tão longa é improvável por acaso). Também há uma sequência de 6 amostras (9 a 14) todas acima da linha central. Esses padrões (8 abaixo seguidos por 6 acima) sugerem uma mudança ou influência de causas atribuíveis no processo, mesmo sem pontos fora dos limites.
Conclusão dessa verificação: embora nenhum ponto ultrapasse os limites de 3-sigma, há evidência de padrão não aleatório (runs longos), o que indica que devemos investigar possíveis causas especiais (machine setup, matéria-prima, operador, etc.).
Passo 8
Interpretação final e recomendação prática (como agir na prova e na fábrica).
Resultado numérico dos limites: já calculei e posso usar diretamente para responder objetivamente.
Interpretação prática: os gráficos não apresentam pontos fora dos limites de controle; entretanto, a presença de 8 amostras consecutivas abaixo da média sugere que o processo pode ter sofrido uma alteração ou estar sofrendo influência de causas não aleatórias. Em controle estatístico de processo isso normalmente leva a: (i) inspecionar registros do período das amostras 1–8 para achar causas especiais e (ii) se encontrar causa, corrigir e recolher novas amostras para ver se o processo volta ao comportamento aleatório esperado.
Na hora da prova: diga os limites numéricos e, além disso, comente sobre a sequência de sinais (isso demonstra que você sabe interpretar além da regra dos 3-sigmas). É desejo do examinador ver tanto os cálculos quanto a interpretação.
Resposta
Limites do gráfico de R: LCL_R = 0 e UCL_R \approx 86,34.
Limites do gráfico de \overline{x}: LCL_{\overline{x}} \approx 107,31 e UCL_{\overline{x}} \approx 154,43.
Conclusão: nenhum ponto ultrapassa os limites, mas há um padrão não aleatório (8 amostras consecutivas abaixo da média), portanto investigar causas especiais (processo possivelmente fora de controle em termos de estabilidade).