A tabela abaixo apresenta os dados de média e amplitude de 20 amostras de tamanho 5 para um processo de produção de porcas.
Número da
amostra
\overline{\boldsymbol{x}} \mathbf{R}
\mathbf{1} 130,1 27,9
\mathbf{2} 124,5 57,0
\mathbf{3} 129,6 39,1
\mathbf{4} 117,6 30,0
\mathbf{5} 128,5 42,7
\mathbf{6} 126,1 43,0
\mathbf{7} 111,0 36,1
\mathbf{8} 127,4 46,0
\mathbf{9} 143,5 46,9
\mathbf{1 0} 133,6 33,7
Número da
amostra
\overline{\boldsymbol{x}} \mathbf{R}
\mathbf{1 1} 134,6 40,6
\mathbf{1 2} 146,7 39,8
\mathbf{1 3} 132,4 50,0
\mathbf{1 4} 138,1 9,2
\mathbf{1 5} 128,7 54,8
\mathbf{1 6} 127,6 53,3
\mathbf{1 7} 127,1 42,9
\mathbf{1 8} 123,4 53,2
\mathbf{1 9} 147,5 38,3
\mathbf{2 0} 139,4 32,2
Média 130,87 40,84

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com as médias amostrais \overline{x} e as amplitudes R de 20 amostras de tamanho n=5. Na própria tabela já está calculada a média das médias e a média das amplitudes, que são, respectivamente, \overline{\overline{x}}=130,87 e \overline{R}=40,84 (peguei esses valores diretamente da linha “Média” da tabela).
As perguntas que vou responder (o que normalmente se pede neste tipo de exercício) são:
  1. Calcular os limites de controle do gráfico de R (amplitude).
  2. Calcular os limites de controle do gráfico de \overline{x} (média).
  3. Verificar, usando esses limites e os dados da tabela, se há pontos fora de controle ou sinais de variação não aleatória.
Todos os dados necessários estão na tabela: as 20 médias amostrais, as 20 amplitudes, \overline{\overline{x}}=130,87 e \overline{R}=40,84. Não há nenhuma outra informação faltando.

Passo 2

Explicação das constantes e das fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
O objetivo dos gráficos de controle é monitorar se a média do processo e a variabilidade do processo permanecem estáveis ao longo do tempo. Para amostras de tamanho fixo n usa-se tabelas de constantes estatísticas (obtidas de teoria/ tabelas padronizadas). As fórmulas e o significado das variáveis são:
  • \overline{\overline{x}}: média das médias amostrais (aqui 130,87).
  • \overline{R}: média das amplitudes amostrais (aqui 40,84).
  • A_2: constante usada para converter \overline{R} em desvio padrão das médias; seu valor depende de n. Para n=5 temos A_2=0,577.
  • D_3 e D_4: constantes usadas para limites do gráfico de R; para n=5 temos D_3=0 e D_4=2,114.
  • d_2: constante usada para estimar \sigma a partir de \overline{R}; para n=5 temos d_2=2,326.
Fórmulas que usaremos:
\text{(R-chart)}\quad UCL_R = D_4\,\overline{R},\qquad LCL_R = D_3\,\overline{R}.
\text{(}\overline{x}\text{-chart)}\quad UCL_{\overline{x}} = \overline{\overline{x}} + A_2\,\overline{R},\qquad LCL_{\overline{x}} = \overline{\overline{x}} - A_2\,\overline{R}.
\text{(Estimativa do desvio padrão do processo)}\quad \hat{\sigma}=\dfrac{\overline{R}}{d_2}.ã
Comentário didático: A_2 essencialmente representa 3/(\,d_2\sqrt{n}\,) e serve para que os limites do gráfico de médias fiquem a \pm 3 desvios padrão da média das médias. D_3 e D_4 transformam \overline{R} em limites para a variabilidade da amplitude. Essas constantes vêm de tabelas vistas em controle estatístico de processo.

Passo 3

Cálculo dos limites do gráfico de R. Vou usar os valores das constantes para n=5 e o valor \overline{R}=40,84 (da tabela).
Calculemos o limite superior:
UCL_R = D_4\,\overline{R} = 2,114 \times 40,84.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
40,84\times 2 = 81,68,
40,84\times 0,114 = 40,84\times(0,1+0,01+0,004) \approx 4,084+0,4084+0,16336 = 4,65576.
Somando:
UCL_R \approx 81,68 + 4,65576 = 86,33576 \approx 86,34.
O limite inferior:
LCL_R = D_3\,\overline{R} = 0 \times 40,84 = 0.
Portanto, \;LCL_R=0 e \;UCL_R\approx 86,34.

Passo 4

Cálculo dos limites do gráfico de \overline{x}. Vou usar \overline{\overline{x}}=130,87, A_2=0,577 e \overline{R}=40,84.
Primeiro calcule A_2\,\overline{R}:
A_2\,\overline{R} = 0,577 \times 40,84.
Multiplicando passo a passo:
40,84\times 0,5 = 20,42,
40,84\times 0,07 = 2,8588,
40,84\times 0,007 = 0,28588,
Somando essas parcelas:
0,577\times 40,84 \approx 20,42 + 2,8588 + 0,28588 = 23,56468 \approx 23,56.
Agora os limites:
UCL_{\overline{x}} = \overline{\overline{x}} + A_2\,\overline{R} \approx 130,87 + 23,56 = 154,43,
LCL_{\overline{x}} = \overline{\overline{x}} - A_2\,\overline{R} \approx 130,87 - 23,56 = 107,31.
Portanto, \;LCL_{\overline{x}}\approx 107,31 e \;UCL_{\overline{x}}\approx 154,43.

Passo 5

Estimativa do desvio padrão do processo (aula prática). Usando \hat{\sigma}=\dfrac{\overline{R}}{d_2} com d_2=2,326 e \overline{R}=40,84:
\hat{\sigma} \approx \dfrac{40,84}{2,326}.
Dividindo:
40,84\div 2,326 \approx 17,56.
Interpretação: a estimativa do desvio padrão do processo é \hat{\sigma}\approx 17,56. Se usássemos a fórmula alternativa para UCL_{\overline{x}} baseada em \hat{\sigma}, teríamos UCL_{\overline{x}}=\overline{\overline{x}}+3\hat{\sigma}/\sqrt{n} e isso dá praticamente o mesmo valor numérico que usamos com A_2 (verificação útil para a prova).

Passo 6

Verificação dos pontos em relação aos limites (uso direto dos dados da tabela).
Primeiro o gráfico de R: como já calculei, UCL_R\approx 86,34 e LCL_R=0. Olhando os 20 valores de R fornecidos na tabela (peguei cada R diretamente da tabela), o maior R é 57,0 (amostra 2) e o menor é 9,2 (amostra 14). Como 57,0<86,34 e 9,2>0, nenhum valor de R está fora dos limites. Logo, pelo critério “ponto fora de 3-sigma” o gráfico de R não indica amostras fora de controle.
Agora o gráfico de \overline{x}: os 20 valores de \overline{x} estão na tabela (peguei-os). O menor é \overline{x}=111,0 (amostra 7) e o maior é \overline{x}=147,5 (amostra 19). Como 111,0>107,31 e 147,5<154,43, nenhum valor de \overline{x} está fora dos limites. Portanto, não há pontos fora de controle no sentido clássico de ultrapassar os limites de 3-sigma.

Passo 7

Verificação de padrões não aleatórios (aula sobre interpretação além dos pontos fora dos limites).
Mesmo quando não há pontos fora dos limites, podemos ter sinais de que o processo não é puramente aleatório: por exemplo, muitas observações consecutivas de um mesmo lado da média (run), tendências, ciclos, etc. Uma regra prática comum é observar sequências longas de pontos de um mesmo lado da linha central. Vou comparar cada \overline{x} com \overline{\overline{x}}=130,87.
Sinais (baixo/alto) para cada amostra (peguei os valores da tabela):
1: 130,1 < 130,87 (abaixo)
2: 124,5 (abaixo)
3: 129,6 (abaixo)
4: 117,6 (abaixo)
5: 128,5 (abaixo)
6: 126,1 (abaixo)
7: 111,0 (abaixo)
8: 127,4 (abaixo)
9: 143,5 (acima)
10: 133,6 (acima)
11: 134,6 (acima)
12: 146,7 (acima)
13: 132,4 (acima)
14: 138,1 (acima)
15: 128,7 (abaixo)
16: 127,6 (abaixo)
17: 127,1 (abaixo)
18: 123,4 (abaixo)
19: 147,5 (acima)
20: 139,4 (acima)
Observação importante: as primeiras oito amostras (1 a 8) estão todas do mesmo lado da linha central (abaixo). Ter 8 pontos consecutivos de um mesmo lado é um sinal clássico de comportamento não aleatório (frequentemente usado como critério — algumas variantes usam 7, 8 ou 9 como corte; qualquer sequência tão longa é improvável por acaso). Também há uma sequência de 6 amostras (9 a 14) todas acima da linha central. Esses padrões (8 abaixo seguidos por 6 acima) sugerem uma mudança ou influência de causas atribuíveis no processo, mesmo sem pontos fora dos limites.
Conclusão dessa verificação: embora nenhum ponto ultrapasse os limites de 3-sigma, há evidência de padrão não aleatório (runs longos), o que indica que devemos investigar possíveis causas especiais (machine setup, matéria-prima, operador, etc.).

Passo 8

Interpretação final e recomendação prática (como agir na prova e na fábrica).
  • Resultado numérico dos limites: já calculei e posso usar diretamente para responder objetivamente.
  • Interpretação prática: os gráficos não apresentam pontos fora dos limites de controle; entretanto, a presença de 8 amostras consecutivas abaixo da média sugere que o processo pode ter sofrido uma alteração ou estar sofrendo influência de causas não aleatórias. Em controle estatístico de processo isso normalmente leva a: (i) inspecionar registros do período das amostras 1–8 para achar causas especiais e (ii) se encontrar causa, corrigir e recolher novas amostras para ver se o processo volta ao comportamento aleatório esperado.
Na hora da prova: diga os limites numéricos e, além disso, comente sobre a sequência de sinais (isso demonstra que você sabe interpretar além da regra dos 3-sigmas). É desejo do examinador ver tanto os cálculos quanto a interpretação.

Resposta

Limites do gráfico de R: LCL_R = 0 e UCL_R \approx 86,34.
Limites do gráfico de \overline{x}: LCL_{\overline{x}} \approx 107,31 e UCL_{\overline{x}} \approx 154,43.
Conclusão: nenhum ponto ultrapassa os limites, mas há um padrão não aleatório (8 amostras consecutivas abaixo da média), portanto investigar causas especiais (processo possivelmente fora de controle em termos de estabilidade).

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