Considere que uma dada característica da qualidade possua uma distribuição normal com limites de especificação em \mathrm{LSE}=100 e \mathrm{LIE}=90. A amostra coletada resulta em \mu=97 e \sigma =1,6. Calcule os índices Cp e Cpk.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede os índices C_p e C_{pk}.
Dados fornecidos:
\mathrm{LSE}=100 (limite superior de especificação), \mathrm{LIE}=90 (limite inferior de especificação).
A amostra resultou em \mu=97 (média amostral) e \sigma=1,6 (desvio padrão amostral).
Perguntas:
Calcular \,C_p e C_{pk}.

Passo 2

Apresento a fórmula de \,C_p e explico cada termo, devagar e com carinho.
Fórmula:
C_p=\frac{\mathrm{LSE}-\mathrm{LIE}}{6\sigma}.
O que cada símbolo significa:
  • \mathrm{LSE}-\mathrm{LIE} é a largura da faixa de especificação (o intervalo permitido pela especificação).
  • \sigma é o desvio padrão do processo (medida da dispersão).
  • O fator 6 surge porque, para uma distribuição normal, aproximadamente 99{,}73\% dos dados estão em \mu\pm3\sigma; então a largura natural do processo é 6\sigma.
    O índice C_p compara a largura disponível pelas especificações com a largura natural do processo: se C_p>1 a dispersão do processo cabe dentro da especificação (se ele estiver bem centrado).

Passo 3

Calculo passo a passo \,C_p usando os números do enunciado.
Primeiro a largura da especificação:
\mathrm{LSE}-\mathrm{LIE}=100-90=10.
O denominador:
6\sigma=6\cdot 1,6=9,6.
Agora a razão:
C_p=\frac{10}{9,6}.
Faço a divisão:
\frac{10}{9,6}=\frac{100}{96}=1{,}041666\ldots
Arredondando para três casas decimais (prática comum em qualidade):
C_p\approx1{,}042.

Passo 4

Agora a fórmula de \,C_{pk} e o que ela mede.
Fórmula:
C_{pk}=\min\left(\frac{\mathrm{LSE}-\mu}{3\sigma},\;\frac{\mu-\mathrm{LIE}}{3\sigma}\right).
Explicação:
  • \frac{\mathrm{LSE}-\mu}{3\sigma} mede quantos “3\sigma” cabem entre a média do processo e o limite superior; indica risco do lado superior.
  • \frac{\mu-\mathrm{LIE}}{3\sigma} mede o mesmo para o lado inferior.
  • Tomamos o mínimo porque a capacidade real depende do lado mais crítico (o mais próximo da média).
    Enquanto C_p olha só a dispersão, C_{pk} considera também o centramento da média em relação aos limites.

Passo 5

Calculo \frac{\mathrm{LSE}-\mu}{3\sigma} com os valores dados.
Numerador:
\mathrm{LSE}-\mu=100-97=3.
Denominador:
3\sigma=3\cdot 1,6=4,8.
Razão:
\frac{100-97}{3\cdot1,6}=\frac{3}{4,8}=0{,}625.

Passo 6

Calculo \frac{\mu-\mathrm{LIE}}{3\sigma}.
Numerador:
\mu-\mathrm{LIE}=97-90=7.
Denominador (já calculado):
3\sigma=4,8.
Razão:
\frac{97-90}{3\cdot1,6}=\frac{7}{4,8}=1{,}458333\ldots
Arredondando para três casas decimais:
\frac{97-90}{4,8}\approx1{,}458.

Passo 7

Determino C_{pk} tomando o mínimo das duas razões calculadas:
Temos \;0{,}625 e \;1{,}458. O menor é 0{,}625. Logo
C_{pk}=0{,}625.
Interpretação curta e motivadora:
  • \;C_p\approx1{,}042>1 indica que a dispersão do processo é pequena o suficiente para caber nas especificações se o processo estiver perfeitamente centrado.
  • Mas \;C_{pk}=0{,}625<1 mostra que, na prática, a média \mu=97 está deslocada em direção ao limite superior ( \mathrm{LSE}=100), e esse deslocamento reduz a capacidade real do processo, deixando-o fora de uma capacidade aceitável ( C_{pk}<1). Em termos práticos: precisamos recentrar a média mais para o centro entre os limites ou reduzir ainda mais a variabilidade para alcançar C_{pk}\ge1. Força aí, dá pra melhorar!

Resposta

C_p\approx1{,}042
C_{pk}\approx0{,}625

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