Um processo opera de acordo com uma chance de ocorrer defeito de 3 %. Coletando 30 peças aleatoriamente, qual a probabilidade de uma amostra selecionada apresentar:
a) três defeitos ou menos. R: 9 8 , 6 6 %

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um processo onde há 3% de chance de sair defeito. Queremos saber qual a probabilidade, ao pegar 30 peças aleatoriamente, de ter três defeitos ou menos. Vamos usar a probabilidade binomial para resolver isso. Precisamos entender como calcular a chance de ter exatamente 0, 1, 2 ou 3 defeitos nessa amostra de 30 peças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a probabilidade binomial. Ela nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos ocorrer em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso:
  • “Sucesso” é uma peça defeituosa.
  • O número de tentativas é 30 peças.
  • A probabilidade de sucesso em cada tentativa é 3% ou 0,03.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (30 peças).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (defeitos).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,03).

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de nenhum defeito ocorrer ($ k = 0 $):
k = 0
Sabemos que:
  • $ \binom{30}{0} = 1 $
  • $ 0,03^0 = 1 $
  • $ (1 - 0,03)^{30} = 0,97^{30} \approx 0,401 $
Então:
P(X = 0) = binom300 times 0,03^0 times (1 - 0,03)^30 - 0

Passo 4

Agora, a probabilidade de um defeito ocorrer ($ k = 1 $):
k = 1
Calculando:
  • $ \binom{30}{1} = 30 $
  • $ 0,03^1 = 0,03 $
  • $ (1 - 0,03)^{29} = 0,97^{29} \approx 0,413 $
Então:
P(X = 1) = binom301 times 0,03^1 times (1 - 0,03)^30 - 1

Passo 5

Vamos para a probabilidade de dois defeitos ($ k = 2 $):
k = 2
Calculando:
  • $ \binom{30}{2} = \frac{30 \times 29}{2} = 435 $
  • $ 0,03^2 = 0,0009 $
  • $ (1 - 0,03)^{28} = 0,97^{28} \approx 0,426 $
Então:
P(X = 2) = binom302 times 0,03^2 times (1 - 0,03)^30 - 2

Passo 6

Por fim, a probabilidade de três defeitos ($ k = 3 $):
k = 3
Calculando:
  • $ \binom{30}{3} = \frac{30 \times 29 \times 28}{6} = 4060 $
  • $ 0,03^3 = 0,000027 $
  • $ (1 - 0,03)^{27} = 0,97^{27} \approx 0,440 $
Então:
P(X = 3) = binom303 times 0,03^3 times (1 - 0,03)^30 - 3

Passo 7

Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a chance de ter três defeitos ou menos:
P(X <= 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
Substituindo os valores:
P(X <= 3) approx 0,401 + 0,373 + 0,167 + 0,048 = 0,989
Isso dá aproximadamente 98,9%.

Resposta

A probabilidade de selecionar uma amostra com três defeitos ou menos é de aproximadamente 98,9%.

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