Um processo opera de acordo com uma chance de ocorrer defeito de
. Coletando 30 peças aleatoriamente, qual a probabilidade de uma amostra selecionada apresentar:
a) três defeitos ou menos. R:
a) três defeitos ou menos. R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um processo onde há 3% de chance de sair defeito. Queremos saber qual a probabilidade, ao pegar 30 peças aleatoriamente, de ter três defeitos ou menos. Vamos usar a probabilidade binomial para resolver isso. Precisamos entender como calcular a chance de ter exatamente 0, 1, 2 ou 3 defeitos nessa amostra de 30 peças.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a probabilidade binomial. Ela nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos ocorrer em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso:
- “Sucesso” é uma peça defeituosa.
- O número de tentativas é 30 peças.
- A probabilidade de sucesso em cada tentativa é 3% ou 0,03.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (30 peças).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (defeitos).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,03).
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de nenhum defeito ocorrer ($ k = 0 $):
Sabemos que:
- $ \binom{30}{0} = 1 $
- $ 0,03^0 = 1 $
- $ (1 - 0,03)^{30} = 0,97^{30} \approx 0,401 $
Então:
Passo 4
Agora, a probabilidade de um defeito ocorrer ($ k = 1 $):
Calculando:
- $ \binom{30}{1} = 30 $
- $ 0,03^1 = 0,03 $
- $ (1 - 0,03)^{29} = 0,97^{29} \approx 0,413 $
Então:
Passo 5
Vamos para a probabilidade de dois defeitos ($ k = 2 $):
Calculando:
- $ \binom{30}{2} = \frac{30 \times 29}{2} = 435 $
- $ 0,03^2 = 0,0009 $
- $ (1 - 0,03)^{28} = 0,97^{28} \approx 0,426 $
Então:
Passo 6
Por fim, a probabilidade de três defeitos ($ k = 3 $):
Calculando:
- $ \binom{30}{3} = \frac{30 \times 29 \times 28}{6} = 4060 $
- $ 0,03^3 = 0,000027 $
- $ (1 - 0,03)^{27} = 0,97^{27} \approx 0,440 $
Então:
Passo 7
Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a chance de ter três defeitos ou menos:
Substituindo os valores:
Isso dá aproximadamente 98,9%.
Resposta
A probabilidade de selecionar uma amostra com três defeitos ou menos é de aproximadamente 98,9%.