No processo de Pasteurização UHT (Ultra High Temperature ) a temperatura varia de 130^circ C a 150^circ C, por um período de três a cinco segundos. Considere que no controle do processo seja utilizado um termômetro de bulbo, que pode ser representado por um instrumento de 1^0 ordem. Neste caso, qual deve ser o valor da constante de tempo do termômetro para atender condições do processo (inexatidão menor que 2,5%)?

Passo 1

Então, o enunciado diz que num processo de pasteurização UHT a temperatura pula de 130 °C para 150 °C em 3 a 5 s, e a gente usa um termômetro de bulbo que se comporta como um sistema de primeira ordem. A questão pede: qual deve ser a constante de tempo τ desse termômetro pra que, durante esses poucos segundos, a leitura fique com erro menor que 2,5 %?
Conteúdo: resposta de sistema de 1ª ordem a um degrau (exponencial), constante de tempo e erro de regime. Vamos precisar da fórmula

Passo 2

Pra entender, imagine que a temperatura “verdadeira” pula de T(t)=150 + (130-150),e^-t/tau =150 - 20,e^-t/tau °C para °C num instante, e o termômetro demora pra acompanhar, seguindo
A gente quer que, aos 3 s (o pior caso, porque é o menor tempo disponível), a leitura esteja a menos de 2,5 % do salto total de 20 °C, ou seja, o erro seja ≤ 0,025×20 °C = 0,5 °C.

Passo 3

Definindo o erro relativo E = Tinfty-T(t)Tinfty-T0 = 150 - l(150 - 20,e^-3/taur)20 = e^-3/tau em função do salto:
e^-3/tau <= 0.025 Longrightarrow -,3tau <= ln(0.025) Longrightarrow 3tau >= -ln(0.025)
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Passo 4

Calculando -ln(0.025)approx 3.6889 Longrightarrow tau <= 33.6889approx 0.8136 s :

Resposta

A constante de tempo do termômetro deve ser, no máximo, cerca de para garantir erro menor que 2,5 % em 3 s.

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