Um termômetro de bulbo é utilizado para monitorar a temperatura do liquido em um dado experimento de transferência de calor. O termômetro pode ser representado por um instrumento de 1^0 ordem (cte de tempo tau=6 seg e sensibilidade k=10 ). Pede-se: Se o termômetro for usado para medir uma entrada (temperatura) que varia instantaneamente de 75^0-300^circ C, qual vai ser a temperatura indicada após 10 segundos da excitação. Quanto tempo deve-se esperar para fazer a leitura da temperatura de forma que o erro não exceda 3%

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos um termômetro de primeiro ordem com constante de tempo tau = 6,s e sensibilidade k = 10. Ele mede uma temperatura que muda instantaneamente de 75^circ C para 300^circ C. Queremos saber (a) qual temperatura ele indica após 10 s e (b) quanto tempo temos que esperar para que o erro fique menor que 3%.”
Conteúdo: resposta a degrau de sistema de 1ª ordem. Vamos usar a fórmula da resposta transitória exponencial e o conceito de erro residual.

Passo 2

Modelagem: para um sistema de 1ª ordem, se a entrada é um degrau de amplitude De, a saída (em unidades do sensor) é
y(t) = kl(Tinicial + De
Como a sensibilidade é k=10, o valor indicado em °C é
Tind(t)=y(t)k=Tinicial+De

Passo 3

Calcular Tind em t=10,s.
Aqui Tinicial=75^circ C, Tfinal=300^circ C, então De.
Tind(10)=75+225l(1-e^-10/6r),
Calculando e^-10/6approx e^-1,6667approx0,189, temos
Tind(10)approx75+225(1-0,189)=75+225cdot0,811approx75+182,5=257,5^circ C

Passo 4

Queremos achar t tal que o erro varepsilon(t)=Tfinal-Tind(t) seja menor que 3% de De.
3% de De é 0,03cdot225=6,75^circ C.
Como
varepsilon(t)=300 - l[75+225(1-e^-t/6)r]=225,e^-t/6,
impondo 225,e^-t/6<=6,75 vem
e^-t/6<=6,75225=0,03Longrightarrow -t6<=ln(0,03)Longrightarrow t>= -6ln(0,03),
E como ln(0,03)approx-3,5066,
t>= -6times(-3,5066)approx21,0 s,

Resposta

(a) Após 10 s o termômetro indica cerca de 257,5^circ C.
(b) Para ter erro abaixo de 3%, espere aproximadamente 21,0,s.

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