No processo de produção de leite condensado, alimentam -se a um evaporador duas correntes: Leite integral e um xarope de sacarose. Nesse equipamento a água é vaporizada, de modo a produzir uma corrente concentrada, que chamamos de leite condensado. Considere o leite integral constituído de 87 % em massa de água (A) e o restante é solidos dissolvidos (B). O xarope é uma solução aquosa de sacarose ©. O leite condensado tem a seguinte composição mássica: 35 % de água, 41 % de sacarose e 24 % de sólidos dissolvidos. O equipamento evapora 4 % da água a ele alimentada. Sabendo que se deseja produzir 100 kg / h de leite condensado e que o processo esta em estado estacionário responda:
Determine a vazão mássica e a composição de xarope (isto é, frações mássicas de cada um dos constituintes do xarope).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a produção de leite condensado, onde temos duas correntes de entrada: leite integral e um xarope de sacarose. Nosso objetivo é descobrir a vazão mássica do xarope e a composição dele, ou seja, as frações mássicas de cada componente no xarope. Para resolver isso, vamos usar o balanço de massa, que nos ajuda a entender como as quantidades de matéria se comportam em um processo químico ou físico. Vamos precisar equilibrar as massas de água, molécula de sacarose e sólidos dissolvidos nas correntes de entrada e saída.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • $ F_L $: Vazão mássica do leite integral (kg/h)
  • $ F_X $: Vazão mássica do xarope de sacarose (kg/h)
  • $ F_C $: Vazão mássica do leite condensado (100 kg/h)
Sabemos que o processo está em estado estacionário, ou seja, as entradas e saídas estão equilibradas.

Passo 3

Vamos analisar as composições:
Leite Integral:
  • 87% água (A)
  • 13% sólidos dissolvidos (B)
Xarope de Sacarose:
  • Vamos considerar as frações mássicas:
    • $ x % $ de água
    • $ y % $ de sacarose
Como é uma solução aquosa de sacarose, não há outros sólidos dissolvidos além da sacarose, então $ y = % $ de sacarose e $ (100 - x - y)% $ de outros componentes, mas vamos assumir que apenas água e sacarose estão presentes para simplificar.
Leite Condensado:
  • 35% água
  • 41% sacarose
  • 24% sólidos dissolvidos
Também sabemos que o evaporador elimina 4% da água alimentada.

Passo 4

Vamos montar os balanços de massa para cada componente:
Água:
Entrada:
  • Do leite integral: $ 0,87 F_L $
  • Do xarope: $ x F_X $
Saída:
  • No leite condensado: $ 0,35 F_C $
  • Água evaporada: $ 0,04 \times $ (água alimentada)
Primeiro, vamos calcular a água alimentada:
Água alimentada = $ 0,87 F_L + x F_X $
Água evaporada = $ 0,04 (0,87 F_L + x F_X) $
Então, o balanço da água fica:
0,87 FL
Sacarose:
Entrada:
  • Do xarope: $ y F_X $
Saída:
  • No leite condensado: $ 0,41 F_C $
Então, o balanço da sacarose:
x FX
Sólidos Dissolvidos:
Entrada:
  • Do leite integral: $ 0,13 F_L $
Saída:
  • No leite condensado: $ 0,24 F_C $
Balanço dos sólidos dissolvidos:
0,35 FC

Passo 5

Vamos resolver os balanços de massa passo a passo.
Balanço dos Sólidos Dissolvidos:
0,13 FL = 0,24 FC
Sabemos que $ F_C = 100 $ kg/h:
FC = 100
0,13 FL = 0,24 times 100
0,13 FL = 24
$$ F_L \approx 184,62 ) kg/h
Balanço da Sacarose:
[ y F_X = 0,41 \times 100 $$
FL = 240,13
Mas precisamos de mais informações para resolver $ y $ e $ F_X $. Vamos usar o balanço da água.
Balanço da Água:
FL approx 184,62 ) kg/h **Balanço da Sacarose:** [ y FX = 0,41 times 100
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
y FX = 41
Calculando:
y
FX
0,87 FL + x FX = 0,35 FC + 0,04 (0,87 FL + x FX)
Subtraindo $ 0,04 x F_X $ e 41,41536 de ambos os lados:
FL
FC
0,87 times 184,62 + x FX = 0,35 times 100 + 0,04 (0,87 times 184,62 + x FX)
Aqui percebemos um erro, pois a vazão mássica não pode ser negativa. Vamos reavaliar os passos.
Na verdade, houve um erro na manipulação da equação. Vamos refazer o balanço da água:
160,384 + x FX = 35 + 0,04 (160,384 + x FX)
Fatorando o $ 0,04 $:
160,384 + x FX = 35 + 6,41536 + 0,04 x FX
160,384 + x FX = 41,41536 + 0,04 x FX
Reagrupando termos:
0,04 x FX
160,384 - 41,41536 + (1 - 0,04) x FX = 0
118,96864 + 0,96 x FX = 0
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
0,96 x FX = -118,96864
$$ 154,332 ) + $ 0,96 x F_X = 35 $
[ 0,96 x F_X = 35 - 154,332 $$
0,87 FL + x FX = 0,35 FC + 0,04 (0,87 FL + x FX)
Ainda temos um resultado negativo, o que indica que pode haver uma inconsistência nas informações ou na abordagem. Vamos reavaliar as suposições.

Passo 6

Vamos reconsiderar a composição do xarope. Talvez a composição mássica do xarope não seja apenas água e sacarose. Vamos supor que o xarope seja composto apenas por água e sacarose, então $ x + y = 100 $.
Então, temos:
x + y = 100
E do balanço da sacarose:
x + y = 100
Agora, podemos expressar $ y = \frac{41}{F_X} $
Substituindo na equação $ x + y = 100 $:
y FX = 41
y = 41FX
Agora, substituímos $ x $ na equação do balanço da água:
x + y = 100
x + 41FX = 100
x = 100 - 41FX
x
0,8352 times 184,62 + 0,96 (100 - 41FX) FX = 35
154,332 + 0,96 (100 FX - 41) = 35
154,332 + 96 FX - 39,36 = 35
154,332 - 39,36 + 96 FX = 35
$$ F_X \approx -0,833 ) kg/h
Esse resultado negativo indica que houve um erro na abordagem ou nas suposições. Vamos verificar novamente os balanços.

Passo 7

Vamos refazer os balanços de massa com mais cuidado.
Balanço dos Sólidos Dissolvidos:
[ 0,13 F_L = 0,24 F_C $$
$$ F_L \approx 184,62 ) kg/h
Balanço da Sacarose:
[ y F_X = 0,41 F_C $$
Balanço da Água:
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
**Balanço da Água:**
Calculando:
Substituindo $ FL $ e $ FC $:
Calculando:

Subtraindo 41,41536 de ambos os lados:
Subtraindo 41,41536 de ambos os lados:
$$ x F_X \approx -123,68 ) kg/h
Isso ainda dá uma vazão negativa, o que não faz sentido fisicamente. Isso sugere que talvez a composição do xarope precisa incluir outros componentes ou que há uma inconsistência no enunciado.

Passo 8

Vamos assumir que o xarope de sacarose é composto apenas por água e sacarose, então $ x + y = 100 $.
Do balanço da sacarose:
[ y F_X = 41 $$
x + y = 100
E como $ x + y = 100 $:
Agora, substituímos $ x $ na equação do balanço da água:
E como $ x + y = 100 $:
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
Agora, substituímos $ x $ na equação do balanço da água:
Simplificando:
Substituindo $ FL $ e $ FC $:
Simplificando:

Subtraindo $ 4 F_X $ e 39,77536 de ambos os lados:
Subtraindo $ 4 FX $ e 39,77536 de ambos os lados:

[ F_X \approx -0,829 ) kg/h
Ainda temos uma vazão negativa, indicando que a suposição inicial está incorreta ou há um erro no enunciado.

Resposta

Após realizar os balanços de massa e analisar as composições, percebemos que há uma inconsistência nas informações fornecidas ou nas suposições feitas, resultando em uma vazão mássica negativa para o xarope de sacarose. Recomenda-se revisar os dados do enunciado ou as premissas adotadas para resolver o exercício corretamente.

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