No processo de produção de leite condensado, alimentam -se a um evaporador duas correntes: Leite integral e um xarope de sacarose. Nesse equipamento a água é vaporizada, de modo a produzir uma corrente concentrada, que chamamos de leite condensado. Considere o leite integral constituído de
em massa de água (A) e o restante é solidos dissolvidos (B). O xarope é uma solução aquosa de sacarose ©. O leite condensado tem a seguinte composição mássica:
de água,
de sacarose e
de sólidos dissolvidos. O equipamento evapora
da água a ele alimentada. Sabendo que se deseja produzir
de leite condensado e que o processo esta em estado estacionário responda:
Determine a vazão mássica e a composição de xarope (isto é, frações mássicas de cada um dos constituintes do xarope).
Determine a vazão mássica e a composição de xarope (isto é, frações mássicas de cada um dos constituintes do xarope).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a produção de leite condensado, onde temos duas correntes de entrada: leite integral e um xarope de sacarose. Nosso objetivo é descobrir a vazão mássica do xarope e a composição dele, ou seja, as frações mássicas de cada componente no xarope. Para resolver isso, vamos usar o balanço de massa, que nos ajuda a entender como as quantidades de matéria se comportam em um processo químico ou físico. Vamos precisar equilibrar as massas de água, molécula de sacarose e sólidos dissolvidos nas correntes de entrada e saída.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- $ F_L $: Vazão mássica do leite integral (kg/h)
- $ F_X $: Vazão mássica do xarope de sacarose (kg/h)
- $ F_C $: Vazão mássica do leite condensado (100 kg/h)
Sabemos que o processo está em estado estacionário, ou seja, as entradas e saídas estão equilibradas.
Passo 3
Vamos analisar as composições:
Leite Integral:
- 87% água (A)
- 13% sólidos dissolvidos (B)
Xarope de Sacarose:
- Vamos considerar as frações mássicas:
- $ x % $ de água
- $ y % $ de sacarose
Como é uma solução aquosa de sacarose, não há outros sólidos dissolvidos além da sacarose, então $ y = % $ de sacarose e $ (100 - x - y)% $ de outros componentes, mas vamos assumir que apenas água e sacarose estão presentes para simplificar.
Leite Condensado:
- 35% água
- 41% sacarose
- 24% sólidos dissolvidos
Também sabemos que o evaporador elimina 4% da água alimentada.
Passo 4
Vamos montar os balanços de massa para cada componente:
Água:
Entrada:
Entrada:
- Do leite integral: $ 0,87 F_L $
- Do xarope: $ x F_X $
Saída:
- No leite condensado: $ 0,35 F_C $
- Água evaporada: $ 0,04 \times $ (água alimentada)
Primeiro, vamos calcular a água alimentada:
Água alimentada = $ 0,87 F_L + x F_X $
Água alimentada = $ 0,87 F_L + x F_X $
Água evaporada = $ 0,04 (0,87 F_L + x F_X) $
Então, o balanço da água fica:
Sacarose:
Entrada:
Entrada:
- Do xarope: $ y F_X $
Saída:
- No leite condensado: $ 0,41 F_C $
Então, o balanço da sacarose:
Sólidos Dissolvidos:
Entrada:
Entrada:
- Do leite integral: $ 0,13 F_L $
Saída:
- No leite condensado: $ 0,24 F_C $
Balanço dos sólidos dissolvidos:
Passo 5
Vamos resolver os balanços de massa passo a passo.
Balanço dos Sólidos Dissolvidos:
Sabemos que $ F_C = 100 $ kg/h:
$$ F_L \approx 184,62 ) kg/h
Balanço da Sacarose:
[ y F_X = 0,41 \times 100 $$
Mas precisamos de mais informações para resolver $ y $ e $ F_X $. Vamos usar o balanço da água.
Balanço da Água:
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
Calculando:
Subtraindo $ 0,04 x F_X $ e 41,41536 de ambos os lados:
Aqui percebemos um erro, pois a vazão mássica não pode ser negativa. Vamos reavaliar os passos.
Na verdade, houve um erro na manipulação da equação. Vamos refazer o balanço da água:
Fatorando o $ 0,04 $:
Reagrupando termos:
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
$$ 154,332 ) + $ 0,96 x F_X = 35 $
[ 0,96 x F_X = 35 - 154,332 $$
Ainda temos um resultado negativo, o que indica que pode haver uma inconsistência nas informações ou na abordagem. Vamos reavaliar as suposições.
Passo 6
Vamos reconsiderar a composição do xarope. Talvez a composição mássica do xarope não seja apenas água e sacarose. Vamos supor que o xarope seja composto apenas por água e sacarose, então $ x + y = 100 $.
Então, temos:
E do balanço da sacarose:
Agora, podemos expressar $ y = \frac{41}{F_X} $
Substituindo na equação $ x + y = 100 $:
Agora, substituímos $ x $ na equação do balanço da água:
$$ F_X \approx -0,833 ) kg/h
Esse resultado negativo indica que houve um erro na abordagem ou nas suposições. Vamos verificar novamente os balanços.
Passo 7
Vamos refazer os balanços de massa com mais cuidado.
Balanço dos Sólidos Dissolvidos:
[ 0,13 F_L = 0,24 F_C $$
$$ F_L \approx 184,62 ) kg/h
Balanço da Sacarose:
[ y F_X = 0,41 F_C $$
Balanço da Água:
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
Calculando:
Subtraindo 41,41536 de ambos os lados:
$$ x F_X \approx -123,68 ) kg/h
Isso ainda dá uma vazão negativa, o que não faz sentido fisicamente. Isso sugere que talvez a composição do xarope precisa incluir outros componentes ou que há uma inconsistência no enunciado.
Passo 8
Vamos assumir que o xarope de sacarose é composto apenas por água e sacarose, então $ x + y = 100 $.
Do balanço da sacarose:
[ y F_X = 41 $$
E como $ x + y = 100 $:
Agora, substituímos $ x $ na equação do balanço da água:
Substituindo $ F_L $ e $ F_C $:
Simplificando:
Subtraindo $ 4 F_X $ e 39,77536 de ambos os lados:
[ F_X \approx -0,829 ) kg/h
Ainda temos uma vazão negativa, indicando que a suposição inicial está incorreta ou há um erro no enunciado.
Resposta
Após realizar os balanços de massa e analisar as composições, percebemos que há uma inconsistência nas informações fornecidas ou nas suposições feitas, resultando em uma vazão mássica negativa para o xarope de sacarose. Recomenda-se revisar os dados do enunciado ou as premissas adotadas para resolver o exercício corretamente.