Um processo segue o seguinte modelo de equação diferencial:
\frac{d^{3} y^{\prime}}{d t^{3}}+5 \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}+8 \frac{d y^{\prime}}{d t}+4 y^{\prime}=2 \frac{d x^{\prime}}{d t}+3 x^{\prime}
Ache a expressão relacionando \overline{y^{\prime}}(s) a \bar{x} '(s). Ambos x^{\prime} e y^{\prime} são variáveis-desvio com valores iniciais das funções e das derivadas nulos

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial entre as variáveis-desvio x'(t) e y'(t):
\frac{d^{3} y^{\prime}}{d t^{3}}+5 \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}+8 \frac{d y^{\prime}}{d t}+4 y^{\prime}=2 \frac{d x^{\prime}}{d t}+3 x^{\prime}.
As perguntas implícitas são:
  • Encontrar a relação entre \overline{y'}(s) e \overline{x'}(s), onde \overline{y'}(s)=\mathcal{L}\{y'(t)\} e \overline{x'}(s)=\mathcal{L}\{x'(t)\}.
    Informações relevantes fornecidas:
  • As transformadas de Laplace pedidas são das variáveis-desvio x' e y'.
  • As condições iniciais são nulas: as funções e todas as derivadas iniciais valem zero, isto é, y'(0)=y^{\prime\prime}(0)=y^{\prime\prime\prime}(0)=0 e x'(0)=0 (e quaisquer derivadas iniciais de x' que apareçam também nulas).

Passo 2

Breve revisão da ferramenta que vamos usar (nota: isto é didático para que na prova você saiba por que funciona).
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}=\bar{f}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Propriedade linear: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\bar{f}(s)+b\bar{g}(s).
  • Propriedade para derivadas (assumindo condições iniciais gerais):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=s\bar{f}(s)-f(0),
\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}\bar{f}(s)-s f(0)-f'(0),
\mathcal{L}\{f^{(3)}(t)\}=s^{3}\bar{f}(s)-s^{2}f(0)-s f'(0)-f''(0).
  • Se as condições iniciais forem nulas (isto é, f(0)=f'(0)=\cdots=0), essas fórmulas simplificam para
\mathcal{L}\{f'(t)\}=s\bar{f}(s),\qquad \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}\bar{f}(s),\qquad \mathcal{L}\{f^{(3)}(t)\}=s^{3}\bar{f}(s).
Aqui f pode ser y' ou x'. É por isso que as condições iniciais nulas facilitam muito: basta multiplicar por potências de s.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace a cada termo da equação diferencial, usando as propriedades acima e lembrando que todas as condições iniciais são nulas.
Transformada do lado esquerdo:
  • \mathcal{L}\left\{\dfrac{d^{3} y'}{dt^{3}}\right\}=s^{3}\overline{y'}(s).
  • \mathcal{L}\left\{5\dfrac{d^{2} y'}{dt^{2}}\right\}=5s^{2}\overline{y'}(s).
  • \mathcal{L}\left\{8\dfrac{d y'}{dt}\right\}=8s\overline{y'}(s).
  • \mathcal{L}\{4 y'\}=4\overline{y'}(s).
Somando:
\mathcal{L}\{\text{LHS}\}=(s^{3}+5s^{2}+8s+4)\,\overline{y'}(s).
Transformada do lado direito:
  • \mathcal{L}\left\{2\dfrac{d x'}{dt}\right\}=2s\overline{x'}(s).
  • \mathcal{L}\{3 x'\}=3\overline{x'}(s).
Somando:
\mathcal{L}\{\text{RHS}\}=(2s+3)\,\overline{x'}(s).

Passo 4

Agora igualamos as transformadas (porque a transformada é linear e única):
(s^{3}+5s^{2}+8s+4)\,\overline{y'}(s)=(2s+3)\,\overline{x'}(s).

Passo 5

Isolando \overline{y'}(s) obtemos a relação desejada. Também é útil identificar o “função de transferência” G(s)=\dfrac{\overline{y'}(s)}{\overline{x'}(s)}.
  • Dividindo ambos os lados por s^{3}+5s^{2}+8s+4,
\overline{y'}(s)=\frac{2s+3}{s^{3}+5s^{2}+8s+4}\,\overline{x'}(s).
  • Observação extra (útil na prova): o denominador fatoriza como
s^{3}+5s^{2}+8s+4=(s+1)(s+2)^{2},
portanto a função de transferência é
G(s)=\frac{\overline{y'}(s)}{\overline{x'}(s)}=\frac{2s+3}{(s+1)(s+2)^{2}}.
Isso mostra os polos do sistema em s=-1 e s=-2 (com multiplicidade 2).

Resposta

\overline{y'}(s)=\frac{2s+3}{s^{3}+5s^{2}+8s+4}\,\overline{x'}(s)

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