Um tanque agitado com aquecimento está operando com uma vazão mássica de 180 \mathrm{lb} / \mathrm{min} de um liquido com capacidade calorifica especifica e densidade iguais a 0.32 \mathrm{Btu} / 1 \mathrm{~b}^{\circ} \mathrm{F} e 62,41 \mathrm{~b} / \mathrm{ft}^{3}, respectivamente. o volume do tanque é constante e vale 2,4 \mathrm{ft}^{3}.
Suponha que uma entrada de calor de 2000 Btu / min e uma temperatura de entrada de 80^{\circ} \mathrm{F} produziram um estado estacionario.
a) Calcule a temperatura de saida estacionária T_{e}
O aquecimento do liquido ocorre devido a uma serpentina, dentro da qual vapor condensa. Chame Q(J) a taxa de adição de calor ao liquido no tanque. Q(J) é função de uma lei de controle, onde o controlador ajusta a posição da válvula de controle na linha de vapor.
Subitamente, por falta de ar para instrumentação, a válvula que controla a passagem de vapor para a serpentina ficou totalmente fechada e o calor cedido foi a zero (Q t)=0, para todo t \geq 0).
b) Escreva uma expressão para T(t). Qual a nova temperatura do tanque depois de um tempo longo ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Calcular a temperatura de saída em regime estacionário T_e.
    2. (b) Depois que a vazão de vapor cai para zero (ou seja, Q(t)=0 para t\ge0), escrever uma expressão para T(t) e indicar qual será a temperatura do tanque depois de um tempo longo.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão mássica de entrada/saída: \dot{m}=180\\ \mathrm{lb/min}.
    • Calor específico (capacidade calorífica): c_p=0,32\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lb}\,^\circ\mathrm{F}).
    • Densidade do líquido: \rho=62,41\\ \mathrm{lb/ft^3}.
    • Volume do tanque (constante): V=2,4\\ \mathrm{ft^3}.
    • Taxa de calor adicionada em regime estacionário: Q=2000\\ \mathrm{Btu/min}.
    • Temperatura de entrada do líquido: T_{\mathrm{in}}=80^\circ\mathrm{F}.
    • Assume-se tanque bem misturado e que a temperatura do líquido no tanque é igual à temperatura de saída (saída perfeitamente misturada).

Passo 2

Conceito e balanço de energia em regime estacionário — aula curta e derivação da fórmula.
  • Ideia física: num tanque agitado bem misturado, a energia que entra por massa + a energia fornecida pelo aquecimento sai ou se acumula. Em regime estacionário a energia acumulada é zero.
  • Balanço de energia (unidades de energia por tempo, Btu/min): taxa de energia que entra com o fluido + taxa de calor adicionada = taxa de energia que sai com o fluido.
  • Escrevendo isso em fórmula: \dot{m}\,c_p\,T_{\mathrm{in}} + Q = \dot{m}\,c_p\,T_e.Aqui:
    • \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{lb/min}),
    • c_p é o calor específico ( \mathrm{Btu}/(\mathrm{lb}\,^\circ\mathrm{F})),
    • T_{\mathrm{in}} é a temperatura de entrada ( ^\circ\mathrm{F}),
    • Q é a taxa de calor adicionada ( \mathrm{Btu/min}),
    • T_e é a temperatura de saída/ do tanque em regime estacionário ( ^\circ\mathrm{F}).
  • Isolando T_e: T_e = T_{\mathrm{in}} + \frac{Q}{\dot{m}\,c_p}.Observação pedagógica: a fração Q/(\dot{m}c_p) tem unidade ^\circ\mathrm{F} porque Q está em \mathrm{Btu/min} e \dot{m}c_p em \mathrm{Btu}/(\mathrm{min}\cdot^\circ\mathrm{F}).

Passo 3

Cálculo numérico de T_e passo a passo.
  • Calcular \dot{m}c_p: \dot{m}c_p = 180 \times 0,32 = 57,6\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{min}\cdot^\circ\mathrm{F}).
  • Calcular o acréscimo de temperatura devido ao calor: \frac{Q}{\dot{m}c_p} = \frac{2000}{57,6} \approx 34,7222\\ ^\circ\mathrm{F}.
  • Logo: T_e = 80 + 34,7222 \approx 114,7222^\circ\mathrm{F}.
  • Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar T_e \approx 114,7^\circ\mathrm{F}.

Passo 4

Modelo dinâmico (transiente) e formulação do ODE — aula e dedução.
  • Quando o calor externo passa a ser Q(t)=0 para t\ge0, o balanço de energia geral (não estacionário) é: m c_p \frac{dT}{dt} = \dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{in}}-T) + Q(t),onde m é a massa de líquido no tanque e T(t) é a temperatura do tanque no instante t.
  • Explicação das parcelas:
    • m c_p \dfrac{dT}{dt} é a taxa de variação de energia interna no tanque (acumulação).
    • \dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{in}}-T) é a taxa líquida de energia entrando pelo fluxo (se T_{\mathrm{in}}<T esse termo é negativo, indicando perda de energia).
    • Q(t) é a potência térmica externa (aqui passa a ser zero).
  • Como Q(t)=0 para t\ge0, simplificamos: m c_p \frac{dT}{dt} = \dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{in}}-T).
  • Podemos cancelar c_p (mesma unidade nos dois lados), obtendo um ODE simples: m\frac{dT}{dt} = \dot{m}\,(T_{\mathrm{in}}-T).Ou rearranjando: \frac{dT}{dt} + \frac{\dot{m}}{m} T = \frac{\dot{m}}{m} T_{\mathrm{in}}.

Passo 5

Calcular a massa no tanque e as constantes numéricas (necessárias para solução).
  • Massa no tanque: m=\rho V. Usando os dados: m = 62,41 \times 2,4 = 149,784\\ \mathrm{lb}.
  • Taxa relativa \dfrac{\dot{m}}{m} e constante de tempo: \frac{\dot{m}}{m} = \frac{180}{149,784} \approx 1,20144\\ \text{min}^{-1}.A constante de tempo (tempo característico) é \tau = \frac{m}{\dot{m}} \approx 0,83222\\ \text{min} \approx 49,93\\ \text{s}.Observação: \tau dá a escala de tempo na qual a temperatura se aproxima do valor de entrada; em aproximadamente 3\tau a resposta já está muito próxima do estado final.

Passo 6

Solução do ODE (passo a passo) e expressão final T(t).
  • O ODE linear homogêneo com termo forçante constante tem solução geral: T(t) = T_{\mathrm{in}} + \bigl(T(0)-T_{\mathrm{in}}\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{\dot{m}}{m}t\Bigr).Explicando: esta é a solução típica de um sistema de primeira ordem que relaxa exponencialmente para o valor forçado T_{\mathrm{in}}.
  • Aqui a condição inicial T(0) é a temperatura do tanque imediatamente antes de fechar a válvula. Como o sistema estava em regime estacionário antes da falha, T(0)=T_e calculado no Passo 3.
  • Substituindo T(0)=T_e e os valores numéricos: T(t) = 80 + (114,7222-80)\exp\!\bigl(-1,20144\,t\bigr).Simplificando o coeficiente: T(t) = 80 + 34,7222\,\exp\!\bigl(-1,20144\,t\bigr)\quad\text{(temperatura em }^\circ\mathrm{F},\\ t\text{ em minutos).}Ou usando a constante de tempo: T(t) = 80 + 34,7222\,\exp\!\bigl(-t/\tau\bigr), \qquad \tau\approx0,83222\\ \text{min}.

Passo 7

Temperatura no tempo longo (limite t\to\infty) — conclusão física e numérica.
  • Como a exponencial decai para zero quando t\to\infty, tem-se \lim_{t\to\infty} T(t) = T_{\mathrm{in}} = 80^\circ\mathrm{F}.
  • Interpretação física: sem aquecimento externo, o líquido que entra mais frio (a 80^\circ\mathrm{F}) substitui o conteúdo do tanque e, após alguns tempos característicos \tau, o tanque atinge a temperatura de entrada.

Resposta

(a) T_e \approx 114,7^\circ\mathrm{F}
(b) T(t)=80 + 34,7222\,\exp\!\bigl(-1,20144\,t\bigr)\\ \,^\circ\mathrm{F} (com t em minutos)
Nova temperatura depois de tempo longo: 80^\circ\mathrm{F}

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