Um tanque agitado com aquecimento está operando com uma vazão mássica de
de um liquido com capacidade calorifica especifica e densidade iguais a
e
, respectivamente. o volume do tanque é constante e vale
.
Suponha que uma entrada de calor de 2000 Btu / min e uma temperatura de entrada de
produziram um estado estacionario.
a) Calcule a temperatura de saida estacionária
O aquecimento do liquido ocorre devido a uma serpentina, dentro da qual vapor condensa. Chame
a taxa de adição de calor ao liquido no tanque.
é função de uma lei de controle, onde o controlador ajusta a posição da válvula de controle na linha de vapor.
Subitamente, por falta de ar para instrumentação, a válvula que controla a passagem de vapor para a serpentina ficou totalmente fechada e o calor cedido foi a zero
, para todo
.
b) Escreva uma expressão para T(t). Qual a nova temperatura do tanque depois de um tempo longo ?
a) Calcule a temperatura de saida estacionária
b) Escreva uma expressão para T(t). Qual a nova temperatura do tanque depois de um tempo longo ?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Calcular a temperatura de saída em regime estacionário
. - (b) Depois que a vazão de vapor cai para zero (ou seja,
para ), escrever uma expressão para e indicar qual será a temperatura do tanque depois de um tempo longo.
- (a) Calcular a temperatura de saída em regime estacionário
-
Dados fornecidos:
- Vazão mássica de entrada/saída:
. - Calor específico (capacidade calorífica):
. - Densidade do líquido:
. - Volume do tanque (constante):
. - Taxa de calor adicionada em regime estacionário:
. - Temperatura de entrada do líquido:
. - Assume-se tanque bem misturado e que a temperatura do líquido no tanque é igual à temperatura de saída (saída perfeitamente misturada).
- Vazão mássica de entrada/saída:
Passo 2
Conceito e balanço de energia em regime estacionário — aula curta e derivação da fórmula.
- Ideia física: num tanque agitado bem misturado, a energia que entra por massa + a energia fornecida pelo aquecimento sai ou se acumula. Em regime estacionário a energia acumulada é zero.
- Balanço de energia (unidades de energia por tempo, Btu/min): taxa de energia que entra com o fluido + taxa de calor adicionada = taxa de energia que sai com o fluido.
- Escrevendo isso em fórmula:
Aqui: -
é a vazão mássica ( ), -
é o calor específico ( ), -
é a temperatura de entrada ( ), -
é a taxa de calor adicionada ( ), -
é a temperatura de saída/ do tanque em regime estacionário ( ).
-
- Isolando
: Observação pedagógica: a fração tem unidade porque está em e em .
Passo 3
Cálculo numérico de
passo a passo.
- Calcular
: - Calcular o acréscimo de temperatura devido ao calor:
- Logo:
- Arredondando de forma prática para a prova, pode-se usar
.
Passo 4
Modelo dinâmico (transiente) e formulação do ODE — aula e dedução.
- Quando o calor externo passa a ser
para , o balanço de energia geral (não estacionário) é: onde é a massa de líquido no tanque e é a temperatura do tanque no instante . - Explicação das parcelas:
-
é a taxa de variação de energia interna no tanque (acumulação). -
é a taxa líquida de energia entrando pelo fluxo (se esse termo é negativo, indicando perda de energia). -
é a potência térmica externa (aqui passa a ser zero).
-
- Como
para , simplificamos: - Podemos cancelar
(mesma unidade nos dois lados), obtendo um ODE simples: Ou rearranjando:
Passo 5
Calcular a massa no tanque e as constantes numéricas (necessárias para solução).
- Massa no tanque:
. Usando os dados: - Taxa relativa
e constante de tempo: A constante de tempo (tempo característico) é Observação: dá a escala de tempo na qual a temperatura se aproxima do valor de entrada; em aproximadamente a resposta já está muito próxima do estado final.
Passo 6
Solução do ODE (passo a passo) e expressão final
.
- O ODE linear homogêneo com termo forçante constante tem solução geral:
Explicando: esta é a solução típica de um sistema de primeira ordem que relaxa exponencialmente para o valor forçado . - Aqui a condição inicial
é a temperatura do tanque imediatamente antes de fechar a válvula. Como o sistema estava em regime estacionário antes da falha, calculado no Passo 3. - Substituindo
e os valores numéricos: Simplificando o coeficiente: Ou usando a constante de tempo:
Passo 7
Temperatura no tempo longo (limite
) — conclusão física e numérica.
- Como a exponencial decai para zero quando
, tem-se - Interpretação física: sem aquecimento externo, o líquido que entra mais frio (a
) substitui o conteúdo do tanque e, após alguns tempos característicos , o tanque atinge a temperatura de entrada.
Resposta
(a)
(b)
(com
em minutos)
Nova temperatura depois de tempo longo:
Nova temperatura depois de tempo longo: