Em um processo de seleção para um programa de pós-graduação, os candidatos devem realizar um teste sobre conhecimentos gerais. A aprovação nesse teste é condição necessária para o candidato continuar no processo de seleção. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído segundo uma distribuição uniforme de probabilidades com média de 120 minutos e variância de 147 minutos { }^{2}. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de
105 minutos. No caso de não serem preenchidas todas as vagas disponíveis nessa primeira etapa, um candidato não aprovado poderá repetir o teste, desde que o seu tempo não tenha sido superior a 135 minutos.
a) Encontre a expressão da função de densidade da variável que representa o tempo de execução do teste.
b) Se 200 candidatos se submeteram ao teste, quantos devem passar?
c) Qual é a probabilidade de um candidato não ser aprovado e poder repetir o teste, caso haja vagas sobrando?
d) João não foi aprovado, mas as vagas não foram totalmente preenchidas. Qual é a probabilidade de que ele possa repetir o teste?

Passo 1

O enunciado descreve o tempo X para completar o teste como uma variável aleatória com distribuição uniforme em algum intervalo [a,b]. Sabemos que
– a média é \mathbb{E}[X]=120 minutos;
– a variância é \mathrm{Var}(X)=147 minutos ^2.
Precisamos encontrar:
a) a função densidade de X;
b) o número esperado de aprovados entre 200 candidatos, sabendo que aprovados são os que terminam em menos de 105 minutos;
c) a probabilidade de um candidato não aprovado (isto é, X\ge105) poder repetir o teste (isto é, ter X\le135);
d) dada a informação de que João não foi aprovado ( X\ge105), a probabilidade de que ele possa repetir ( X\le135).

Passo 2

Para X\sim U(a,b) vale
\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}=120
e
\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=147.
Da segunda equação tiramos
(b-a)^2=147\cdot12=1764 \quad\Longrightarrow\quad b-a=42.
Da média vem a+b=240. Resolvendo o sistema
\begin{cases} a+b=240,\\\ b-a=42, \end{cases}
obtemos
a=99,\quad b=141.

Passo 3

A função densidade de X é
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}=\dfrac{1}{42},&x\in[99,141],\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 4

A probabilidade de aprovação é
P(X<105)=\frac{105-99}{42}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7}.
Se 200 candidatos fizerem o teste, o número esperado de aprovados é
200\cdot\frac{1}{7}=\frac{200}{7}\approx28{,}6,
ou seja, aproximadamente 29 candidatos.

Passo 5

A probabilidade de não ser aprovado ( X\ge105) e ainda poder repetir ( X\le135) é
P(105\le X\le135) =\frac{135-105}{42} =\frac{30}{42} =\frac{5}{7}.

Passo 6

Sabendo que João não foi aprovado ( X\ge105), queremos
P(X\le135 \mid X\ge105) =\frac{P(105\le X\le135)}{P(X\ge105)}.
Aqui P(X\ge105)=1-P(X<105)=1-\tfrac{1}{7}=\tfrac{6}{7}. Logo
P(X\le135 \mid X\ge105) =\frac{\tfrac{5}{7}}{\tfrac{6}{7}} =\frac{5}{6}\approx0{,}8333.

Resposta

a) f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{42},&x\in[99,141],\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
b) \displaystyle 200\cdot\frac{1}{7}\approx28{,}6, ou seja, cerca de 29 candidatos.
c) \displaystyle \frac{5}{7}.
d) \displaystyle \frac{5}{6}.

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