Em um processo de seleção para um programa de pós-graduação, os candidatos devem realizar um teste sobre conhecimentos gerais. A aprovação nesse teste é condição necessária para o candidato continuar no processo de seleção. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído segundo uma distribuição uniforme de probabilidades com média de 120 minutos e variância de 147 minutos { }^{2}. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de
105 minutos. No caso de não serem preenchidas todas as vagas disponíveis nessa primeira etapa, um candidato não aprovado poderá repetir o teste, desde que o seu tempo não tenha sido superior a 135 minutos.
a) Encontre a expressão da função de densidade da variável que representa o tempo de execução do teste.
b) Se 200 candidatos se submeteram ao teste, quantos devem passar?
c) Qual é a probabilidade de um candidato não ser aprovado e poder repetir o teste, caso haja vagas sobrando?
d) João não foi aprovado, mas as vagas não foram totalmente preenchidas. Qual é a probabilidade de que ele possa repetir o teste?
Passo 1
O enunciado descreve o tempo X para completar o teste como uma variável aleatória com distribuição uniforme em algum intervalo [a,b]. Sabemos que
– a média é \mathbb{E}[X]=120 minutos;
– a variância é \mathrm{Var}(X)=147 minutos^2.
Precisamos encontrar:
a) a função densidade de X;
b) o número esperado de aprovados entre 200 candidatos, sabendo que aprovados são os que terminam em menos de 105 minutos;
c) a probabilidade de um candidato não aprovado (isto é, X\ge105) poder repetir o teste (isto é, ter X\le135);
d) dada a informação de que João não foi aprovado (X\ge105), a probabilidade de que ele possa repetir (X\le135).