Sendo uma variável aleatória X com distribuição uniforme no intervalo [a, b], mostre, a partir da definição, que E(X)=\frac{a+b}{2} e que \operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}.

Passo 1

Temos X\sim\mathrm{Uniforme}[a,b], ou seja, a densidade é
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le x\le b.
Queremos calcular
  1. a esperança definida por
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx,
  1. a variância definida por
\operatorname{Var}(X)=E\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl[E(X)\bigr]^{2}.

Passo 2

Calcular E(X). Usando a densidade em [a,b]:
E(X) =\int_{a}^{b}x\cdot\frac{1}{b-a}\,dx =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}x\,dx =\frac{1}{b-a}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{a}^{b} =\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^{2}-a^{2}}{2} =\frac{b+a}{2}.

Passo 3

Calcular E(X^{2}). Similarmente:
E(X^{2}) =\int_{a}^{b}x^{2}\cdot\frac{1}{b-a}\,dx =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}x^{2}\,dx =\frac{1}{b-a}\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{a}^{b} =\frac{b^{3}-a^{3}}{3(b-a)} =\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3}.

Passo 4

Calcular \operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}. Substituindo:
\operatorname{Var}(X) =\frac{b^{2}+ab+a^{2}}{3} -\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr)^{2} =\frac{4(b^{2}+ab+a^{2})-3(a+b)^{2}}{12} =\frac{b^{2}-2ab+a^{2}}{12} =\frac{(b-a)^{2}}{12}.

Resposta

E(X)=\dfrac{a+b}{2}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}

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