Em um processo de separação por adsorção, utilizam-se 50 kg de uma peneira molecular de carbono como material adsorvente. Inicialmente, 5 \mathrm{lb}_{\mathrm{m}}\left(1 \mathrm{lb}_{\mathrm{m}}=0,454 \mathrm{~kg}\right) de uma mistura gasosa de metano e etano a 13,3 \mathrm{kPa} e 303,15 \mathrm{~K} são colocadas em contato com este material adsorvente. Sabendo que são adsorvidos 0,115 \mathrm{mmol} de metano por grama de material adsorvente e 0,686 \mathrm{mmol} de etano por grama de material adsorvente, calcule:
a) o volume ocupado pela mistura final não adsorvida, sabendo que a fração molar de metano nesta mistura é de 0,876 .
b) a fração molar inicial de metano.

Passo 1

O enunciado trata de um processo de adsorção em que temos 50\\ \mathrm{kg} de adsorvente e uma mistura gasosa inicial de metano e etano com massa de
5\\ \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} \times 0,454\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{lb}_{\mathrm{m}}}=2{,}27\;\mathrm{kg}
à pressão P=13{,}3\;\mathrm{kPa} e temperatura T=303{,}15\;\mathrm{K}.
a) Queremos o volume ocupado pela fração final de gás não adsorvida, sabendo que a fração molar de metano nessa fase é 0{,}876.
b) Queremos também a fração molar inicial de metano.
Para resolver, vamos:
  1. Calcular quantos mols de cada gás foram adsorvidos.
  2. Escrever balanços de massa (para a massa total da mistura) e de mol (para a composição após adsorção).
  3. Determinar os mols iniciais de cada gás, daí achar o volume final e a fração molar inicial.

Passo 2

Calcular os mols adsorvidos usando as capacidades dadas e a massa do adsorvente em gramas:
\text{massa do adsorvente} = 50\;\mathrm{kg}=50000\;\mathrm{g}.
Mols de metano adsorvidos:
n_{\mathrm{CH_4,\\ ads}} = 0{,}115\;\frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{g}}\times50000\;\mathrm{g} =0{,}115\times10^{-3}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{g}}\times50000\;\mathrm{g} =5{,}75\;\mathrm{mol}.
Mols de etano adsorvidos:
n_{\mathrm{C_2H_6,\\ ads}} =0{,}686\;\frac{\mathrm{mmol}}{\mathrm{g}}\times50000\;\mathrm{g} =0{,}686\times10^{-3}\times50000 =34{,}30\;\mathrm{mol}.

Passo 3

Sejam x e y os mols iniciais de metano e etano, respectivamente.
  1. Balanço de massa da mistura:
16\;x +30\;y =2270\quad(\text{g}),
pois 2{,}27\;\mathrm{kg}=2270\;\mathrm{g}, e as massas molares são 16\;\mathrm{g/mol} e 30\;\mathrm{g/mol}.
2. Após adsorção, restam
x-5{,}75 \quad\text{mols de metano, e}\quad y-34{,}30 \quad\text{mols de etano}.
A fração molar de metano na fase gasosa final é
\frac{x-5{,}75}{(x-5{,}75)+(y-34{,}30)} =0{,}876.

Passo 4

Resolver o sistema
\begin{cases} 16\,x +30\,y =2270,\\\ \displaystyle \frac{x-5{,}75}{x+y-40{,}05}=0{,}876, \end{cases}
onde 40{,}05=5{,}75+34{,}30. Da segunda equação vem
x-5{,}75 =0{,}876\,(x+y-40{,}05) \;\Longrightarrow\; 0{,}124\,x +29{,}35 =0{,}876\,y \;\Longrightarrow\; y=0{,}1416\,x +33{,}50.
Substituindo em 16x+30y=2270:
16x +30(0{,}1416x+33{,}50)=2270 \;\Longrightarrow\; 20{,}248\,x =1265 \;\Longrightarrow\; x=62{,}52\;\mathrm{mol},
y=0{,}1416\times62{,}52+33{,}50 =42{,}36\;\mathrm{mol}.

Passo 5

a) Volume final de gás não adsorvido. O total de mols finais é
n_f = (x-5{,}75)+(y-34{,}30)=62{,}52-5{,}75+42{,}36-34{,}30=64{,}83\;\mathrm{mol}.
Usando a equação de estado dos gases ideais
V = \frac{n_f\,R\,T}{P},
com R=8{,}314\times10^{-3}\;\tfrac{\mathrm{kPa\,m^3}}{\mathrm{mol\,K}}, T=303{,}15\;\mathrm{K} e P=13{,}3\;\mathrm{kPa}:
V = \frac{64{,}83\times8{,}314\times10^{-3}\times303{,}15}{13{,}3} \approx12{,}31\;\mathrm{m^3}.

Passo 6

b) Fração molar inicial de metano:
y_{\mathrm{CH_4},i}=\frac{x}{x+y}=\frac{62{,}52}{62{,}52+42{,}36} \approx0{,}596.

Resposta

a) V\approx12{,}31\;\mathrm{m^3}.
b) y_{\mathrm{CH_4},i}\approx0{,}596.

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