Um processo está sob controle estatístico com \overline{\bar{x}}=21 e desvio padrão igual a 1,2. As especificações são: \operatorname{LIE}=17 e \operatorname{LSE}=23.
a) Estime a capacidade do processo.
b) Itens produzidos abaixo do limite do processo devem ser sucateados, enquanto itens produzidos acima devem ser retrabalhados. Qual a proporção da saída do processo é sucateada e qual proporção é retrabalho?
Aqui vocês devem utilizar a
Aqui vocês devem estimar a proporção de itens que estão abaixo e acima dos limites de especificação, determinando a área à esquerda e a direita de Z.
\begin{aligned} z & =\frac{x-\mu}{\sigma} \\ z & =\frac{L I E-\widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} \quad \boldsymbol{Z}=\frac{\boldsymbol{L} \boldsymbol{S} \boldsymbol{E}-\widehat{\mu}}{\widehat{\boldsymbol{\sigma}}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Estimar a capacidade do processo.
  2. (b) Calcular a proporção da saída do processo que fica abaixo do limite inferior de especificação (LIE) — esses itens serão sucateados — e a proporção que fica acima do limite superior de especificação (LSE) — esses itens serão retrabalho.
Dados fornecidos:
  • Média do processo: \overline{\bar{x}} = 21.
  • Desvio padrão: \sigma = 1,2.
  • Limite Inferior de Especificação: \operatorname{LIE} = 17.
  • Limite Superior de Especificação: \operatorname{LSE} = 23.
Observação importante: vou estimar a capacidade do processo usando as medidas clássicas C_p e C_{pk} e vou estimar proporções usando a transformação para a normal padrão Z e tabelas/valores da distribuição normal padrão.

Passo 2

O que é C_p e como se calcula (aula curta):
  • C_p mede a “largura” da tolerância relativa à variabilidade do processo. É a razão entre a amplitude de especificação e 6 desvios-padrão (porque 6\sigma cobre, idealmente, quase toda a variabilidade do processo).
  • Fórmula:
C_p = \frac{\operatorname{LSE} - \operatorname{LIE}}{6\,\sigma}.
Aqui \operatorname{LSE}-\operatorname{LIE} é a largura total permitida pelas especificações, e 6\sigma é a largura aproximada do intervalo que o processo ocupa se estiver sob controle (da média -3\sigma a +3\sigma).

Passo 3

Cálculo de C_p com os números do problema:
C_p = \frac{23-17}{6\cdot 1,2} = \frac{6}{7,2} = 0,8333\ldots
Arredondando: C_p \approx 0,8333 (ou 0{,}833 com 3 casas decimais).
Interpretação rápida: C_p<1 indica que a largura da especificação é menor que a largura de 6\sigma; ou seja, o processo, com a variabilidade atual, produziria não conformes se estivesse centrado perfeitamente.

Passo 4

O que é C_{pk} e por que usamos (aula curta):
  • C_{pk} mede a capacidade considerando deslocamento da média do processo em relação ao centro das especificações. Ele olha para o lado mais crítico (o que está mais próximo do limite).
  • Fórmula:
C_{pk} = \min\!\left(\frac{\operatorname{LSE}-\mu}{3\sigma},\;\frac{\mu-\operatorname{LIE}}{3\sigma}\right),
onde \mu é a média do processo (aqui \overline{\bar{x}}). Cada termo representa quantos 3\sigma cabem entre a média e o limite correspondente. Pegamos o menor porque a probabilidade de não conformidade é dominada pelo lado mais próximo.

Passo 5

Cálculo de C_{pk} com os números do problema:
Calcule os dois termos:
\frac{\operatorname{LSE}-\mu}{3\sigma} = \frac{23-21}{3\cdot 1,2} = \frac{2}{3,6} = 0,5555\ldots
\frac{\mu-\operatorname{LIE}}{3\sigma} = \frac{21-17}{3\cdot 1,2} = \frac{4}{3,6} = 1,1111\ldots
Logo
C_{pk} = \min(0,5556,\;1,1111) = 0,5556\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: C_{pk} bem menor que C_p mostra que o processo está deslocado em direção ao LSE (média acima do centro das especificações) e o lado superior é o mais crítico.

Passo 6

Como estimar proporções fora das especificações (aula curta sobre a transformação Z):
  • Para uma variável aproximadamente normal com média \mu e desvio-padrão \sigma, a transformação para a normal padrão é
z = \frac{x-\mu}{\sigma},
onde z é o número de desvios-padrão que x está da média.
  • A probabilidade de X ser menor que um valor a é P(X<a)=\Phi\!\big(\tfrac{a-\mu}{\sigma}\big), onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.
  • A probabilidade de X ser maior que b é P(X>b)=1-\Phi\!\big(\tfrac{b-\mu}{\sigma}\big).
Vou usar essa fórmula com a=\operatorname{LIE} e b=\operatorname{LSE}.

Passo 7

Calcule os valores z para os limites:
z_{\text{LIE}}=\frac{\operatorname{LIE}-\mu}{\sigma}=\frac{17-21}{1,2}=\frac{-4}{1,2}=-3,3333\ldots
z_{\text{LSE}}=\frac{\operatorname{LSE}-\mu}{\sigma}=\frac{23-21}{1,2}=\frac{2}{1,2}=1,6666\ldots

Passo 8

Interpretando e usando a tabela (ou valores conhecidos) da normal padrão:
  • P(\text{sucata}) = P(X < \operatorname{LIE}) = \Phi(z_{\text{LIE}}).
    Para z=-3{,}333, a área à esquerda é muito pequena. Valores típicos da tabela dão \Phi(-3{,}33)\approx 0{,}00043.
    Logo P(\text{sucata}) \approx 0{,}00043 (ou 0{,}043\%).
  • P(\text{retrabalho}) = P(X > \operatorname{LSE}) = 1-\Phi(z_{\text{LSE}}).
    Para z=1{,}6667, tabelas dão \Phi(1{,}67)\approx 0{,}9525. Interpolando para 1{,}6667 obtemos aproximadamente \Phi(1{,}6667)\approx 0{,}9522.
    Logo P(\text{retrabalho}) \approx 1-0{,}9522 = 0{,}0478 (ou 4{,}78\%).
Explicando o procedimento de tabela: peguei valores padrão conhecidos para z próximos (1,66–1,67 e 3,33) e fiz interpolação simples para melhorar a precisão.

Passo 9

Resumo numérico e verificação rápida:
  • Proporção sucateada (abaixo de LIE): \approx 0{,}00043 (proporção) = 0{,}043\%.
  • Proporção retrabalho (acima de LSE): \approx 0{,}0478 (proporção) = 4{,}78\%.
  • Soma de não conformes \approx 0{,}0482 = 4{,}82\%, que é coerente com C_{pk} pequeno no lado superior.

Resposta

(a) C_p \approx 0{,}8333,\quad C_{pk} \approx 0{,}5556
(b) Proporção sucateada (abaixo da LIE): \approx 0{,}00043 ( 0{,}043\%)
Proporção retrabalho (acima da LSE): \approx 0{,}0478 ( 4{,}78\%)

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