Um processo tem funçoes de transferência em laço aberto dadas por:
Se um controlador “PI” e usado com
, calcule:
a) O valor do ganho do controlador que dá um coeficiente de amortecimento em laço fechado de 0,707.
b) O periodo natural de oscilação para este valor do ganho.
c) A função de transferencia em laço fechado entre a variavel de perturbação e a saida.
d) 0 “offset” no estado estacionário para um degrau na variável perturbação.
a) O valor do ganho do controlador que dá um coeficiente de amortecimento em laço fechado de 0,707.
b) O periodo natural de oscilação para este valor do ganho.
c) A função de transferencia em laço fechado entre a variavel de perturbação e a saida.
d) 0 “offset” no estado estacionário para um degrau na variável perturbação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções de transferência e pede quatro coisas.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
-
. -
. -
. - O controlador é do tipo PI com
.
O que se pede:
a) O valor do ganho do controlador que produz coeficiente de amortecimento em malha fechada
.
b) O período de oscilação correspondente a esse ganho (interpreto como período da resposta oscilatória amortecida).
c) A função de transferência em malha fechada entre a variável de perturbação e a saída (ou seja em malha fechada).
d) Se existe offset (erro em regime permanente) zero para um degrau na variável perturbação (sim/não e por quê).
a) O valor do ganho do controlador
b) O período de oscilação correspondente a esse ganho (interpreto como período da resposta oscilatória amortecida).
c) A função de transferência em malha fechada entre a variável de perturbação e a saída (ou seja
d) Se existe offset (erro em regime permanente) zero para um degrau na variável perturbação (sim/não e por quê).
Passo 2
Definir o controlador PI e explicar a forma usada.
Um controlador PI tem a forma clássica
Um controlador PI tem a forma clássica
Aqui
, portanto
Comentário didático curto: o termo proporcional dá ganho imediato e o termo integral
adiciona um pólo em
no laço direto (e permite rejeição de perturbações em regime permanente para tipos apropriados).
Passo 3
Calcular a função de laço aberto
e a equação característica.
Multiplicando:
Multiplicando:
Cancele um dos fatores
:
A equação característica em malha fechada (realimentação unitária) é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos o polinômio característico:
Observação: embora tenhamos um integrador em
, após multiplicar a equação característica o polinômio fica de segunda ordem (grau 2) — isto acontece porque havia um fator
no denominador que, ao multiplicar, elimina o termo de grau 3; assim a dinâmica essencial fechada é de segunda ordem.
Passo 4
Colocar o polinômio na forma padrão de segunda ordem e relacionar com
e
.
A forma padrão é
A forma padrão é
Divida o polinômio obtido por
:
Comparando coeficientes com a forma padrão:
Da segunda equação
. Usando a primeira:
Substituindo
:
Agora imponha
(aprox.
) e resolva para
:
Ao quadrado:
Portanto o ganho do controlador que produz
é
.
Passo 5
Calcular a frequência natural e o período de oscilação (explicar diferença entre
e
).
A frequência natural (não amortecida) é
A frequência natural (não amortecida) é
Com
,
A frequência de oscilação amortecida (frequência real das oscilações quando
) é
Como
(aprox.
), tem-se
. Logo
O período da oscilação amortecida é
Comentário didático:
é a “frequência natural” do segundo‑ordem não amortecido; a observável na resposta amortecida é
, e o período das oscilações é
.
Passo 6
Determinar a função de transferência em malha fechada entre perturbação e saída.
Para perturbção adicionada antes do planta (modelo usual), a transferência serviço‑perturbação em malha fechada é
Para perturbção adicionada antes do planta (modelo usual), a transferência serviço‑perturbação em malha fechada é
Já calculamos
na forma manipulada anteriormente; usar a expressão de
:
Assim
Multiplicando por
:
Substituindo o valor numérico
:
(Isto já é a forma simplificada da transferência perturbação→saída para o ganho projetado.)
Passo 7
Verificar o offset em regime permanente para um degrau na perturbação (usar Teorema do Valor Final).
Para um degrau de perturbação , a saída no regime permanente é
Para um degrau de perturbação
Avalie
a partir da expressão:
Portanto
: não há offset em regime permanente para um degrau na perturbação. Intuição física: o termo integral do PI elimina o erro em regime permanente frente a perturbações de tipo degrau (o sistema é do tipo adequado para cancelar esse erro).
Resposta
(a)
(b) Período da oscilação amortecida (com
e
).
(c) , portanto com
:
.
(d) Sim: o offset em regime permanente para um degrau na perturbação é zero.
(b) Período da oscilação amortecida
(c)
(d) Sim: o offset em regime permanente para um degrau na perturbação é zero.