Um processo tem funçoes de transferência em laço aberto dadas por:
G_{p}(s)=\frac{5}{(2 s+1)^{2}}, G_{m}(s)=G_{f}(s)=1 \text { e } G_{d}(s)=\frac{1}{(2 s+1)^{2}}
Se um controlador “PI” e usado com \tau_{1}=2, calcule:
a) O valor do ganho do controlador que dá um coeficiente de amortecimento em laço fechado de 0,707.
b) O periodo natural de oscilação para este valor do ganho.
c) A função de transferencia em laço fechado entre a variavel de perturbação e a saida.
d) 0 “offset” no estado estacionário para um degrau na variável perturbação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções de transferência e pede quatro coisas.
Dados fornecidos:
  • G_{p}(s)=\dfrac{5}{(2s+1)^{2}}.
  • G_{m}(s)=G_{f}(s)=1.
  • G_{d}(s)=\dfrac{1}{(2s+1)^{2}}.
  • O controlador é do tipo PI com \tau_{1}=2.
O que se pede:
a) O valor do ganho do controlador K que produz coeficiente de amortecimento em malha fechada \zeta=0,707.
b) O período de oscilação correspondente a esse ganho (interpreto como período da resposta oscilatória amortecida).
c) A função de transferência em malha fechada entre a variável de perturbação e a saída (ou seja Y(s)/D(s) em malha fechada).
d) Se existe offset (erro em regime permanente) zero para um degrau na variável perturbação (sim/não e por quê).

Passo 2

Definir o controlador PI e explicar a forma usada.
Um controlador PI tem a forma clássica
G_{c}(s)=K\left(1+\frac{1}{\tau_{1}s}\right).
Aqui \tau_{1}=2, portanto
G_{c}(s)=K\left(1+\frac{1}{2s}\right)=K\frac{2s+1}{2s}.
Comentário didático curto: o termo proporcional dá ganho imediato e o termo integral \propto 1/s adiciona um pólo em s=0 no laço direto (e permite rejeição de perturbações em regime permanente para tipos apropriados).

Passo 3

Calcular a função de laço aberto L(s)=G_{c}(s)G_{p}(s) e a equação característica.
Multiplicando:
L(s)=G_{c}(s)G_{p}(s)=\left(K\frac{2s+1}{2s}\right)\left(\frac{5}{(2s+1)^{2}}\right).
Cancele um dos fatores (2s+1):
L(s)=\frac{5K}{2s(2s+1)}.
A equação característica em malha fechada (realimentação unitária) é
1+L(s)=0.
Multiplicando ambos os lados por 2s(2s+1) obtemos o polinômio característico:
2s(2s+1)+5K=0 \quad\Longrightarrow\quad 4s^{2}+2s+5K=0.
Observação: embora tenhamos um integrador em L(s), após multiplicar a equação característica o polinômio fica de segunda ordem (grau 2) — isto acontece porque havia um fator s no denominador que, ao multiplicar, elimina o termo de grau 3; assim a dinâmica essencial fechada é de segunda ordem.

Passo 4

Colocar o polinômio na forma padrão de segunda ordem e relacionar com \zeta e \omega_{n}.
A forma padrão é
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}=0.
Divida o polinômio obtido por 4:
s^{2}+\frac{2}{4}s+\frac{5K}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{2}+0,5s+1,25K=0.
Comparando coeficientes com a forma padrão:
2\zeta\omega_{n}=0,5,\qquad \omega_{n}^{2}=1,25K.
Da segunda equação \omega_{n}=\sqrt{1,25K}=\dfrac{\sqrt{5K}}{2}. Usando a primeira:
\zeta=\frac{0,5}{2\omega_{n}}=\frac{0,25}{\omega_{n}}.
Substituindo \omega_{n}=\dfrac{\sqrt{5K}}{2}:
\zeta=\frac{0,25}{\dfrac{\sqrt{5K}}{2}}=\frac{0,5}{\sqrt{5K}}=\frac{1}{2\sqrt{5K}}.
Agora imponha \zeta=0,707 (aprox. 1/\sqrt{2}) e resolva para K:
\frac{1}{2\sqrt{5K}}=0,707\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{5K}=\frac{1}{2\cdot0,707}=\frac{1}{1,414} \approx 0,7071.
Ao quadrado:
5K=0,5 \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{0,5}{5}=0,1.
Portanto o ganho do controlador que produz \zeta=0,707 é K=0,1.

Passo 5

Calcular a frequência natural e o período de oscilação (explicar diferença entre \omega_{n} e \omega_{d}).
A frequência natural (não amortecida) é
\omega_{n}=\frac{\sqrt{5K}}{2}.
Com K=0,1,
\omega_{n}=\frac{\sqrt{5\cdot 0,1}}{2}=\frac{\sqrt{0,5}}{2}\approx 0,3536\\ \text{rad/s}.
A frequência de oscilação amortecida (frequência real das oscilações quando \zeta<1) é
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Como \zeta=0,707 (aprox. 1/\sqrt{2}), tem-se \sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Logo
\omega_{d}=\omega_{n}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{0,3536}{1,4142}=0,25\\ \text{rad/s}.
O período da oscilação amortecida é
T=\frac{2\pi}{\omega_{d}}=\frac{2\pi}{0,25}=8\pi\approx 25,1327\\ \text{s}.
Comentário didático: \omega_{n} é a “frequência natural” do segundo‑ordem não amortecido; a observável na resposta amortecida é \omega_{d}, e o período das oscilações é 2\pi/\omega_{d}.

Passo 6

Determinar a função de transferência em malha fechada entre perturbação e saída.
Para perturbção adicionada antes do planta (modelo usual), a transferência serviço‑perturbação em malha fechada é
T_{d}(s)=\frac{G_{d}(s)}{1+G_{c}(s)G_{p}(s)}.
Já calculamos 1+G_{c}G_{p} na forma manipulada anteriormente; usar a expressão de L(s):
1+L(s)=1+\frac{5K}{2s(2s+1)}=\frac{2s(2s+1)+5K}{2s(2s+1)}=\frac{4s^{2}+2s+5K}{2s(2s+1)}.
Assim
\frac{1}{1+L(s)}=\frac{2s(2s+1)}{4s^{2}+2s+5K}.
Multiplicando por G_{d}(s)=\dfrac{1}{(2s+1)^{2}}:
T_{d}(s)=\frac{1}{(2s+1)^{2}}\cdot\frac{2s(2s+1)}{4s^{2}+2s+5K} =\frac{2s}{(2s+1)\bigl(4s^{2}+2s+5K\bigr)}.
Substituindo o valor numérico K=0,1:
T_{d}(s)=\frac{2s}{(2s+1)\bigl(4s^{2}+2s+0,5\bigr)}.
(Isto já é a forma simplificada da transferência perturbação→saída para o ganho projetado.)

Passo 7

Verificar o offset em regime permanente para um degrau na perturbação (usar Teorema do Valor Final).
Para um degrau de perturbação D(s)=\dfrac{1}{s}, a saída no regime permanente é
y_{ss}=\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}s\;Y(s)=\lim_{s\to 0}s\;T_{d}(s)\;D(s)=\lim_{s\to 0}T_{d}(s).
Avalie T_{d}(0) a partir da expressão:
T_{d}(0)=\frac{2\cdot 0}{(2\cdot 0+1)\bigl(4\cdot 0^{2}+2\cdot 0+0,5\bigr)}=0.
Portanto y_{ss}=0: não há offset em regime permanente para um degrau na perturbação. Intuição física: o termo integral do PI elimina o erro em regime permanente frente a perturbações de tipo degrau (o sistema é do tipo adequado para cancelar esse erro).

Resposta

(a) K=0,1
(b) Período da oscilação amortecida T=\dfrac{2\pi}{\omega_{d}}=8\pi\approx 25,133\\ \text{s} (com \omega_{n}\approx 0,3536\\ \text{rad/s} e \omega_{d}=0,25\\ \text{rad/s}).
(c) \displaystyle T_{d}(s)=\frac{2s}{(2s+1)\bigl(4s^{2}+2s+5K\bigr)}, portanto com K=0,1: \displaystyle T_{d}(s)=\frac{2s}{(2s+1)\bigl(4s^{2}+2s+0,5\bigr)}.
(d) Sim: o offset em regime permanente para um degrau na perturbação é zero.

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