Um degrau de magnitude 3 é introduzido na função de transferencia:
Determine qual o valor maximo que
alcança e o tempo para o qual este máximo ocorre.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência entre as transformadas de Laplace
e
:
Além disso um degrau de magnitude
é aplicado na entrada, ou seja,
O que se pede:
- o valor máximo que
atinge (ou seja, o máximo da derivada temporal da saída); - o tempo
em que esse máximo ocorre.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- sistema linear e causal (assumimos condições iniciais nulas);
- relação entre
e dada acima; - entrada degrau de amplitude
, com .
Passo 2
Observação útil (propriedade da transformada de Laplace que vamos usar): para uma função
com
vale
Como
, temos
e a transformada da saída é
Aplicando a propriedade acima, a transformada de
é
Perceba algo conveniente: o fator
no numerador cancela o
do denominador (proveniente da entrada em degrau). Fazendo essa simplificação obtemos uma expressão simples para
.
Passo 3
Fazendo a simplificação mencionada:
Dividindo numerador e denominador por
para colocar em forma mais usual:
Vamos colocar o denominador na forma padrão da segunda ordem:
Comparando coeficientes:
Como
, o sistema é subamortecido e a resposta será um seno amortecido.
Passo 4
Reescrevendo o denominador usando
:
com
A transformada
tem transformada inversa conhecida:
No nosso caso o numerador é
, não
. Portanto
Esse é o sinal que precisamos estudar para encontrar o máximo.
Passo 5
Agora a parte “como achar o máximo” — técnica geral para funções do tipo
Derivando e igualando a zero para achar extremos:
(omitimos o fator
que nunca é zero), então
As soluções são
A primeira ocorrência positiva (primeiro máximo) é com
— para
e pequeno amortecimento essa primeira solução é um máximo. Portanto o tempo do primeiro pico é
onde, no nosso caso,
e
.
Passo 6
Aplicando ao nosso caso:
Assim o tempo do primeiro pico é
Calcule:
Passo 7
Agora obter o valor máximo
. Em vez de calcular
numericamente, podemos usar identidade trigonométrica a partir de
. Para
vale
Substituindo em
em
obtemos
Mas note que
portanto a expressão simplifica muito:
Passo 8
Substituindo
:
Arredondando razoavelmente: