Uma mudança de 1 psig à saida do controlador muda o fluxo de calor de
. A dinámica do elemento de medida é desprezivel. A temperatura da corrente de entrada pode variar e as perdas de calor para o meio são despreziveis.
Calcule
e
;
Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo o que segue foi extraído do enunciado, sem suposições extras):
- Uma variação de
na saída do controlador provoca uma variação do fluxo de calor de Aqui chamo a variável de atuação (saída do controlador, em psig) e o fluxo de calor fornecido (em ). - A dinâmica do elemento de medida é desprezível.
- A temperatura da corrente de entrada pode variar (é uma perturbação).
- As perdas de calor para o meio são desprezíveis.
- O enunciado pede calcular
e .
Observação importante (interpretação usada): vou entender
como o ganho estático do processo que relaciona uma variação na saída do controlador
com a variação na temperatura de saída controlada
, isto é
e
como o ganho estático que relaciona uma variação da temperatura de entrada
(perturbação) com a temperatura de saída
, ou seja
Se a sua definição esperada for outra, avise; aqui uso as definições usuais em balanço de energia de um trocador/reator simples.
Passo 2
Escrevendo o balanço de energia em regime estacionário (sem armazenamento de energia) para a corrente fluindo pelo equipamento, e com perdas desprezíveis:
Explicando cada termo:
-
é a vazão mássica da corrente ( ); -
é o calor específico à pressão constante ( ); -
e são as temperaturas de entrada e saída (em ); -
é o fluxo de calor fornecido pelo atuador (em ).
Esta equação diz, em palavras simples: o aumento de energia térmica da corrente (
vezes a diferença de temperatura) é igual ao calor fornecido
.
Passo 3
Isolando
da equação anterior:
Isto é útil porque relaciona diretamente a saída controlada com duas entradas: a perturbação
e o fluxo de calor
(que por sua vez depende de
).
Passo 4
Calcular
.
Pelo efeito em cadeia (cadeia de derivadas),
Pelo efeito em cadeia (cadeia de derivadas),
Da expressão de
temos
Pelo enunciado
Logo
Comentário sobre unidades:
tem unidade
, então
resulta em
, como desejado.
Passo 5
Calcular
.
Da expressão direta de temos
Da expressão direta de
Portanto
Interpretação física: uma variação em
aparece diretamente e integralmente em
se
for mantido constante (ou seja, a saída se desloca paralelamente à entrada). Para compensar essa perturbação seria preciso variar
via
.
Passo 6
Resumo e observações finais:
-
ficou expresso em termos das grandezas do processo e . Se forem fornecidos valores numéricos de e pode-se obter um valor numérico para . -
é uma conclusão geral a partir do balanço usado (válida enquanto o modelo for aplicável).