Uma mudança de 1 psig à saida do controlador muda o fluxo de calor de 500 \mathrm{Btu} / \mathrm{min}. A dinámica do elemento de medida é desprezivel. A temperatura da corrente de entrada pode variar e as perdas de calor para o meio são despreziveis.
Calcule G_{s p} e G_{\text {carga }};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo o que segue foi extraído do enunciado, sem suposições extras):
  • Uma variação de \,1\\ \text{psig}\, na saída do controlador provoca uma variação do fluxo de calor de \frac{\Delta Q}{\Delta u}=500\\ \mathrm{Btu/min\cdot psig^{-1}}.Aqui chamo u a variável de atuação (saída do controlador, em psig) e Q o fluxo de calor fornecido (em \mathrm{Btu/min}).
  • A dinâmica do elemento de medida é desprezível.
  • A temperatura da corrente de entrada pode variar (é uma perturbação).
  • As perdas de calor para o meio são desprezíveis.
  • O enunciado pede calcular G_{sp} e G_{\text{carga}}.
Observação importante (interpretação usada): vou entender G_{sp} como o ganho estático do processo que relaciona uma variação na saída do controlador u com a variação na temperatura de saída controlada T_{out}, isto é
G_{sp}=\frac{\partial T_{out}}{\partial u}\quad(\text{unidade: }\mathrm{^\circ F/psig}),
e G_{\text{carga}} como o ganho estático que relaciona uma variação da temperatura de entrada T_{in} (perturbação) com a temperatura de saída T_{out}, ou seja
G_{\text{carga}}=\frac{\partial T_{out}}{\partial T_{in}}\quad(\text{adimensional}).
Se a sua definição esperada for outra, avise; aqui uso as definições usuais em balanço de energia de um trocador/reator simples.

Passo 2

Escrevendo o balanço de energia em regime estacionário (sem armazenamento de energia) para a corrente fluindo pelo equipamento, e com perdas desprezíveis:
\dot m C_p\,(T_{out}-T_{in}) = Q.
Explicando cada termo:
  • \dot m é a vazão mássica da corrente ( \mathrm{lb/min});
  • C_p é o calor específico à pressão constante ( \mathrm{Btu/(lb\cdot ^\circ F)});
  • T_{in} e T_{out} são as temperaturas de entrada e saída (em ^\circ\!F);
  • Q é o fluxo de calor fornecido pelo atuador (em \mathrm{Btu/min}).
Esta equação diz, em palavras simples: o aumento de energia térmica da corrente ( \dot m C_p vezes a diferença de temperatura) é igual ao calor fornecido Q.

Passo 3

Isolando T_{out} da equação anterior:
T_{out} = T_{in} + \frac{Q}{\dot m C_p}.
Isto é útil porque relaciona diretamente a saída controlada com duas entradas: a perturbação T_{in} e o fluxo de calor Q (que por sua vez depende de u).

Passo 4

Calcular G_{sp}=\dfrac{\partial T_{out}}{\partial u}.
Pelo efeito em cadeia (cadeia de derivadas),
\frac{\partial T_{out}}{\partial u}=\frac{\partial T_{out}}{\partial Q}\cdot\frac{\partial Q}{\partial u}.
Da expressão de T_{out} temos
\frac{\partial T_{out}}{\partial Q}=\frac{1}{\dot m C_p}\quad(\mathrm{^\circ F\\ per\\ (Btu/min)}).
Pelo enunciado
\frac{\partial Q}{\partial u}=500\\ \mathrm{Btu/min\cdot psig^{-1}}.
Logo
G_{sp}=\frac{\partial T_{out}}{\partial u}=\frac{1}{\dot m C_p}\cdot 500 =\frac{500}{\dot m C_p}\quad\left(\mathrm{^\circ F/psig}\right).
Comentário sobre unidades: \dot m C_p tem unidade \mathrm{Btu/(min\cdot ^\circ F)}, então \dfrac{500\\ \mathrm{Btu/min}}{\dot m C_p} resulta em ^\circ\!F/\text{psig}, como desejado.

Passo 5

Calcular G_{\text{carga}}=\dfrac{\partial T_{out}}{\partial T_{in}}.
Da expressão direta de T_{out} temos
\frac{\partial T_{out}}{\partial T_{in}}=1.
Portanto
G_{\text{carga}}=1\quad(\text{adimensional}).
Interpretação física: uma variação em \,T_{in}\, aparece diretamente e integralmente em \,T_{out}\, se Q for mantido constante (ou seja, a saída se desloca paralelamente à entrada). Para compensar essa perturbação seria preciso variar Q via u.

Passo 6

Resumo e observações finais:
  • G_{sp} ficou expresso em termos das grandezas do processo \dot m e C_p. Se forem fornecidos valores numéricos de \dot m e C_p pode-se obter um valor numérico para G_{sp}.
  • G_{\text{carga}}=1 é uma conclusão geral a partir do balanço usado (válida enquanto o modelo T_{out}=T_{in}+Q/(\dot m C_p) for aplicável).

Resposta

G_{sp}=\dfrac{500}{\dot m\,C_p}\\ \left(\mathrm{^\circ F/psig}\right)
G_{\text{carga}}=1

Exercícios relacionados