Um processo tem a seguinte função de transferência:
G(s)=Gm(s) cdot Gp(s) cdot Gv(s)=2s
O ganho em regime permanente de YYs p para o caso (d) é uma função de Kc? Explique o que o valor do ganho encontrado significa fisicamente para uma mudança de uma unidade em Ysp. Qual a unidade do ganho em malha fechada (Y/Ysp)? Apresente a constante de tempo do sistema em malha fechada? É uma função de Kc?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um processo com função de transferência em malha aberta
G(s)=Gm(s),Gp(s),Gv(s)=2s
e um controlador proporcional de ganho Gcl(s)=Kc,G(s)1+Kc,G(s) .
O exercício pede:
1. Se o ganho em regime permanente (caso d) depende de .
2. Interpretar fisicamente esse ganho para uma variação unitária em .
3. Dizer qual é a unidade desse ganho em malha fechada.
4. Encontrar a constante de tempo do sistema em malha fechada e dizer se ela depende de .
Para resolver, a gente vai precisar de:
  • Fórmula da função de transferência em malha fechada:
  • Como extrair ganho em regime permanente (avaliação em ).
  • Noções de sistemas de 1ª ordem (pólo, constante de tempo).

Passo 2

Vamos montar a TF em malha fechada:
Gcl(s) =Kc;2s1+Kc;2s =2,Kcs+2,Kc
Isso é um sistema de primeira ordem com pólo em .

Passo 3

Ganho em regime permanente (DC gain) é Gcl(0)=2,Kc0+2,Kc=1 :
Repara que deu 1, sem nenhum sobrando. Ou seja, o ganho em regime permanente não depende de .
Fisicamente isso significa que, se você der um degrau unitário na referência , no final (em regime), a saída vai acompanhar certinho esse degrau: para cada 1 unidade de , também varia 1 unidade. Erro de regime permanente zero.

Passo 4

Qual a unidade do ganho ?
É uma razão de duas variáveis na mesma unidade. Logo, o ganho é adimensional.

Passo 5

Constante de tempo de um sistema de 1ª ordem Gcl(s)=2Kcs+2Kc =(2Kc)/(2Kc)s2Kc+1 =1s2Kc+1 Longrightarrow tau=12Kc é . No nosso caso escrevemos:

Passo 6

Viu que ? Então sim, a constante de tempo depende de : quanto maior , menor , e mais rápido o sistema responde.

Resposta

Ganho em regime permanente , não depende de .
Fisicamente: degrau unitário na referência gera degrau unitário na saída (erro zero).
Unidade do ganho: adimensional.
Constante de tempo em malha fechada: , que é função de .

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